2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _2.3双_曲_线 23.1 双曲线的标准方程 对应学生用书P25 在平面直角坐标系中 A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3) 问题 1：若动点 M 满足|MAMB|4，设 M 的坐标为(x，y)，则 x，y 满足什么关系？ 提示： 1. x2 4 y2 5 问题 2：若动点 M 满足|MCMD|4，设 M 的坐标为(x，y)，则 x，y 满足什么关系？ 提示： 1. y2 4 x2 5 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c 的关系c2a2b2 1双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含 x，y 项的平方差，右边是 1. 2在双曲线中，a0 且 b0，但 a 与 b 的大小关系不确定 3在双曲线中 a、b、c 满足 c2a2b2，与椭圆不同 对应学生用书P26 用待定系数法求双曲线方程 例 1 已知双曲线过点 P(，)，Q两点，求双曲线的标准方程23 ( 15 3 ， 2) 思路点拨 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b、c 的方程组 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为 mx2ny21(mn0，b0)， x2 a2 y2 b2 P(，)，Q两点在双曲线上23 ( 15 3 ， 2) Error! 解得Error!即 a21，b23， 所求双曲线的标准方程为 x2 1. y2 3 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)， y2 a2 x2 b2 P(，)，Q 两点在双曲线上，23 ( 15 3 ， 2) Error! 解得Error!(不符合题意，舍去) 综上：所求双曲线的标准方程为 x2 1. y2 3 法二：设双曲线的方程为 mx2ny21(mn5. 所以实数 m 的取值范围是(5，) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一点通 给出方程 1(mn0)，当 mn3. 答案：(3,2) (3,2)(3，) 双曲线的定义及其标准方程的应用 例 3 已知 F1， F2是双曲线 1 的两个焦点， P 是双曲线左支上的点， 且 PF1·PF2 x2 9 y2 16 32，试求F1PF2的面积 思路点拨 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得F1PF2的 大小由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果 精解详析 双曲线的标准方程为 1，可知 a3，b4，c5.由双曲 x2 9 y2 16 a2b2 线的定义， 得|PF2PF1|2a6，将此式两边平方，得 PF PF 2PF1·PF236， 2 12 2 PF PF 362PF1·PF2362×32100. 2 12 2 在F1PF2中，由余弦定理，得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 cosF1PF20， PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1·PF2 100100 2PF1·PF2 F1PF290°， SF 1PF2 PF1·PF2 ×3216. 1 2 1 2 一点通 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1PF2| 2a， 其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于 PF1、 PF2、 F1F2的方程， 解方程组可求得 PF1、 PF2或 PF1·PF2，再解决相关问题 5 已知双曲线1的左焦点为F， 点P为双曲线右支上一点， 且PF与圆x2y216 x2 16 y2 25 相切于点 N，M 为线段 PF 的中点，O 为坐标原点，则 MNMO_. 解析：如图，设 F是双曲线的右焦点，连接 PF，因为 M， O 分别是 FP，FF的中 点， 所以MO PF， 又FN5， 由双曲线的定义知PFPF8， 故MNMO 1 2 OF2ON2 PFMFFN (PFPF)FN ×851. 1 2 1 2 1 2 答案：1 6 如图所示， 已知定圆 F1： x2y210x240， 定圆 F2： x2y2 10x90，动圆 M 与定圆 F1，F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方 程 解：圆 F1：(x5)2y21，圆 F2：(x5)2y242， F1(5,0)，半径 r11；F2(5,0)，半径 r24. 设动圆 M 的半径为 R，则 MF1R1，MF2R4， MF2MF13F1F210. 动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线左支， 且 a ，c5. 3 2 b225 . 9 4 91 4 动圆圆心 M 的轨迹方程为1(x ) 4x2 9 4y2 91 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支 2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后， 由条件列出 a，b，c 的方程组 对应课时跟踪训练(十) 1双曲线1 上的点 P 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为 x2 25 y2 24 _ 解析 ： 设双曲线的左、 右焦点分别为 F1， F2， 不妨设 PF111， 根据双曲线的定义知|PF1 PF2|2a10， PF21或PF221， 而F1F214， 当PF21时， 1110， 且焦点在x轴上， 根据题意知4a2a2， 即a2a x2 a y2 2 20，解得 a1 或 a2(舍去)故实数 a1. 答案：1 5已知双曲线的两个焦点为 F1(，0)，F2(，0)，M 是此双曲线上的一点，1010 且满足· 2 MF 0，| 1 MF |·| 2 MF |2，则该双曲线的方程是_ 1 MF 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析： 1 MF · 2 MF 0， 1 MF 2 MF . | 1 MF |2| 2 MF |240. (| 1 MF | 2 MF |)2 | 1 MF |22| 1 MF |·| 2 MF | 2 MF |2 402×236. | 1 MF | 2 MF |62a，a3. 又 c，b2c2a21，10 双曲线方程为 y21. x2 9 答案： y21 x2 9 6求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过点 P(5， )； x2 25 y2 9 9 4 (2)过点 P1(3，4 )，P2( ，5)2 9 4 解：(1)因为椭圆 1 的长轴端点为 A1(5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为 x2 25 y2 9 F1(5,0)，F2(5,0) 由双曲线的定义知，|PF1PF2| Error! Error!(55)2(f(9,4)0)2(55)2(f(9,4)0)2 Error! Error!8， 即2a8， 则a4.又c5， 所以b2c2a2(f(41,4)2(f(9,4)2 9. 故所求双曲线的标准方程为 1. x2 16 y2 9 (2)设双曲线的方程为 Ax2By21(AB) x2 2 y2 6 2