2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.2 求曲线的方程 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 26.2 求曲线的方程 对应学生用书P40 在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为(2，3)，(4，1) 问题 1：求平面上任一点 M(x，y)到 A 点的距离 提示：MA.(x2)2(y3)2 问题 2：试列出到点 A、B 距离相等的点满足的方程 提示：MAMB， 即 (x2)2(y3)2 .(x4)2(y1)2 求曲线方程的一般步骤 正确认识求曲线方程的一般步骤： (1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称 轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点 (2)“设曲线上任意一点 M 的坐标为(x，y)” 这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中 所含的等量关系 (3)“列出符合 p(M)的方程 f(x，y)0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要 使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识 (4)“化方程 f(x，y)0 为最简形式” 化简时需要使用代数中的恒等变形的方法 (5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上” 这一步的证明是必要的从教 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 材内容看， 这一步不作要求， 可以省略， 但在完成第(4)步时， 所用的变形方法应都是可逆的， 否则要作适当说明 对应学生用书P41 直接法求曲线方程 例 1 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，acb，且 a，c，b 成等差 数列，AB2，求顶点 C 的轨迹方程 思路点拨 由 a，c，b 成等差数列可得 ab2c； 由 acb 可知所求轨迹方程是整个 轨迹方程的一部分；由 AB2 可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解. 精解详析 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立平面直角坐标系，则 A(1,0)， B(1,0)，设 C 点坐标为(x，y)， 由已知得 ACBC2AB. 即 4，(x1)2y2(x1)2y2 整理化简得 3x24y2120，即 1. x2 4 y2 3 又acb，xcb 且 a， c， b 成等差数列” 改为 “ABC 的周长为 6 且 AB2” ， 求顶点 C 的轨迹方程 解 ： 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 则 A(1,0)，B(1,0)，设 C(x，y)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 ACBCAB6. 即4.(x1)2y2(x1)2y2 化简整理得 3x24y2120，即 1. x2 4 y2 3 A、B、C 三点不能共线， x±2. 综上，点 C 的轨迹方程为 1(x±2) x2 4 y2 3 2已知三点 O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线 C 上任意一点 M(x，y)满足|MB |MA OM ·(OA OB )2.求曲线 C 的方程 解：由MA (2x,1y)，MB (2x,1y)，得 |MA MB |，(2x)2(22y)2 又OM ·(OA OB )(x，y)·(0,2)2y， 由已知得 2y2，(2x)2(22y)2 化简得曲线 C 的方程是 x24y. 定义法求曲线方程 例 2 已知圆 A：(x2)2y21 与定直线 l：x1，且动圆 P 和圆 A 外切并与直线 l 相切，求动圆的圆心 P 的轨迹方程 思路点拨 利用平面几何的知识，分析点 P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解 精解详析 如图， 作 PK 垂直于直线 x1， 垂足为 K， PQ 垂直于 直线 x2， 垂足为 Q， 则 KQ1，所以 PQr1，又 APr1， 所以 APPQ， 故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线， A(2,0)为焦点，直线 x2 为准线 2，p4， p 2 点 P 的轨迹方程为 y28x. 一点通 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然 后用待定系数法求解， 这种求轨迹的方法称为定义法， 利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的 定义的特征 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x8 的距离的比是 12， 求点 P 的轨迹方程， 并说明轨迹是什么图形 解：设 d 是点 F 到直线 x8 的距离， 根据题意，得 . PF d 1 2 由圆锥曲线的统一定义可知，点 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点，x8 为准线的椭圆，则 Error!解得Error! b2a2c216412. 故点 P 的轨迹方程为1. x2 16 y2 12 4.如图所示，已知点 C 为圆(x)2y24 的圆心，点 A(，0)，P 是22 圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且MQ ·AP 0，AP 2AM .当 点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程 解 ： 圆(x)2y24 的圆心为 C(， 0)， 半径 r2， MQ ·AP 0，22 AP 2AM ， MQAP，点 M 为 AP 的中点，即 QM 垂直平分 AP. 连结 AQ, 则 AQQP， |QCQA|QCQP|CPr2. 又|AC|22，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C(，0)，A(，0)为焦点，222 实轴长为 2 的双曲线， 由 c，a1，得 b21，2 因此点 Q 的轨迹方程为 x2y21. 代入法求曲线方程 例 3 动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P，求 P 点的 轨迹方程 思路点拨 设出点 P、M 的坐标，用 M 的坐标表示 P 的坐标，再借助 M 满足的关系 即可得到 P 的坐标所满足的关系 精解详析 设 P(x，y)，M(x0，y0)， P 为 MB 的中点，Error! 即Error! 又M 在曲线 x2y21 上， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2x3)2(2y)21. P 点的轨迹方程为(2x3)24y21. 一点通 代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动 点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标，并代 入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程 5已知圆 C 的方程为 x2y24，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设直 线 m 与 y 轴的交点为 N，若OQ OM ON ，求动点 Q 的轨迹方程 解：设点 Q 的坐标为(x，y)，点 M 的坐标为(x0，y0)(y00)，则点 N 的坐标为(0，y0) 因为OQ OM ON ， 即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)， 则 x0x，y0 . y 2 又因为点 M 在圆 C 上，所以 x y 4. 2 02 0 即 x2 4(y0) y2 4 所以动点 Q 的轨迹方程是 1(y0) x2 4 y2 16 6已知曲线 C： y2x1，定点 A(3,1)，B 为曲线 C 上的任意一点，点 P 在线段 AB 上， 且有 BPPA12，当 B 点在曲线 C 上运动时，求点 P 的轨迹方程 解：设 P 点坐标为(x，y)，B 点坐标为(x0，y0)， 由 BPPA12，得PA 2BP ， 即(3x,1y)2(xx0，yy0) Error! Error! 点 B(x0，y0)在曲线 y2x1 上， 2 1. ( 3y1 2 ) 3x3 2 化简得： 2 . (y 1 3) 2 3(x 1 3) 即点 P 的轨迹方程为 2 . (y 1 3) 2 3(x 1 3) 1求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称 性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷 2求曲线的方程常用的方法 (1)直接法； (2)定义法； (3)相关点代入法； (4)待定系数法等 对应课时跟踪训练(十六) 1到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是_ 解析：设动点 M(x，y)，到两坐标轴的距离为|x|，|y|. 则|x|y|，x2y2. 答案：x2y2 2等腰三角形底边的两个顶点是 B(2,1)，C(0，3)，则另一顶点 A 的轨迹方程是 _ 解析：设点 A 的坐标为(x，y) 由已知得 ABAC， 即.(x2)2(y1)2x2(y3)2 化简得 x2y10. 点 A 不能在直线 BC 上，x1， 顶点 A 的轨迹方程为 x2y10(x1) 答案：x2y10(x1) 3已知两定点 A(1,0)，B(2,0)，动点 P 满足 ，则 P 点的轨迹方程是_ PA PB 1 2 解析：设 P(x，y)，由已知得 ， (x1)2y2 (x2)2y2 1 2 化简得：x24xy20. 即(x2)2y24. 答案：(x2)2y24 4已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足 PA2PB，则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于_ 解析 ： 设 P(x， y)， 由题知(x2)2y24(x1)2y2， 整理得 x24xy20， 配方得(x2)2 y24，可知圆的面积为 4. 答案：4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5 已知直线 l： 2x4y30， P 为 l 上的动点， O 为坐标原点， 点 Q 分线段 OP 为 12 两部分，则 Q 点的轨迹方程是_ 解析：据题意，OP 3OQ ，设 P(x，y)，Q(x，y)， 则Error!又P(x，y)在 2x4y30 上， 2×(3x)4×(3y)30，即 2x4y10， 即点 Q 的轨迹方程为 2x4y10. 答案：2x4y10 6若动点 P 在曲线 y2x21 上移动，求点 P 与 Q(0，1)连线中点 M 的轨迹方程 解：设 P(x0，y0)，中点 M(x，y)， 则Error!Error! 又 P(x0，y0)在曲线 y2x21 上， 2y12(2x)21，即 y4x2. 点 M 的轨迹方程为 y4x2. 7 已知双曲线 2x22y21 的两个焦点为 F1、 F2， P 为动点， 若 PF1PF26， 求动点 P 的轨迹 E 的方程 解：依题意双曲线方程可化为 1， x2 1 2 y2 1 2 则 F1F22. PF1PF26F1F22， 点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其方程可设为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由 2a6,2c2 得 a3，c1. b2a2c28. 则所求椭圆方程为 1. x2 9 y2 8 故动点 P 的轨迹 E 的方程为 1. x2 9 y2 8 8.如图所示， A(m，m)和 B(n， n)两点分别在射线 OS， OT 上移动， 且33 OA ·OB ，O 为坐标原点，动点 P 满足OP OA OB . 1 2 (1)求 mn 的值； (2)求动点 P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解：(1)由OA ·OB (m，m)·(n，n)2mn.33 得2mn ，即 mn . 1 2 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设 P(x，y)(x0)，由OP OA OB ， 得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)，3333 Error! 整理得 x2 4mn， y2 3 又 mn ， 1 4 P 点的轨迹方程为 x2 1(x0) y2 3 它表示以原点为中心， 焦点在 x 轴上， 实轴长为 2， 焦距为 4 的双曲线 x2 1 的右支 y2 3