2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12.2 函数的和、差、积、商的导数 已知 f(x)x，g(x) . 1 x 问题 1：f(x)、g(x)的导数分别是什么？ 提示：f(x)1，g(x) . 1 x2 问题 2：若 Q(x)x ，则 Q(x)的导数是什么？ 1 x 提示：y(xx)x， 1 xx (x 1 x) x x(xx) 1. y x 1 x(xx) 当 x 无限趋近于 0 时，无限趋近于 1 ， y x 1 x2 Q(x)1 . 1 x2 问题 3：Q(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有什么关系？ 提示：Q(x)f(x)g(x) 导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)Cf(x)Cf(x)(C 为常数)； (4)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (5)(g(x)0) f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) g2(x) 1 对 于 和 差 的 导 数 运 算 法 则 ， 可 推 广 到 任 意 有 限 可 导 函 数 的 和 或 差 ， 即 f1(x)±f2(x)±±fn(x)f1(x)±f2(x)±±fn(x) 2对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出 现f(x)·g(x)f(x)·g(x)以及(5)这样想当然的错误 ； 其次还要特别注意 f(x) g(x) f(x) g(x) 两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“” ，商的导数法则中分子 上是“” 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对应学生用书P9 求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)yx2log3x；(2)yx3·ex；(3)y； cos x x (4)yxtan x. 思路点拨 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导 精解详析 (1)y(x2log3x) (x2)(log3x)2x. 1 xln 3 (2)y(x3·ex)(x3)·exx3·(ex) 3x2·exx3·ex(3x2x3)ex. (3)y ( cos x x) (cos x)·xcos x·x x2 x·sin xcos x x2 . xsin xcos x x2 (4)y(x·tan x) ( xsin x cos x) (xsin x)cos xxsin x(cos x) cos2x (sin xxcos x)cos xxsin 2x cos2x . sin xcos xx cos2x 一点通 (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求 导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联 系及其规律 (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变 形， 如把乘积的形式展开， 公式形式变为和或差的形式， 根式化成分数指数幂， 然后再求导， 使求导计算更加简化 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1若 f(x) x32x1，则 f(1)_. 1 3 解析：f(x)(2x)1x22， ( 1 3x 32x1) ( 1 3x 3) 所以 f(1)(1)223. 答案：3 2函数 yx(x21)的导数是_ 解析：yx(x21)(x3x)3x21. 答案：3x21 3求下列函数的导数： (1)y2x；(2)y. ln x x1 sin xcos x 2cos x 解：(1)y(2x) ( ln x x1) 2xln 2 1 x(x1)ln x (x1)2 2xln 2 11 xln x (x1)2 2xln 2. xxln x1 x(x1)2 (2)y ( sin xcos x 2cos x )( sin x 2cos x 1 2) ( sin x 2cos x) 2cos2x2sin2x 4cos2x . 1 2cos2x 导数运算法则的简单应用 例 2 设 f(x)a·exbln x，且 f(1)e，f(1) ，求 a，b 的值 1 e 思路点拨 首先求 f(x)，然后利用条件建立 a，b 的方程组求解 精解详析 f(x)(a·ex)(bln x)a·ex ， b x 由 f(1)e，f(1) ，得Error! 1 e 解得Error!所以 a，b 的值分别为 1,0. 一点通 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题它比较全面地考查了导数的 应用， 突出了导数的工具性作用 而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解决此类问题的关键 4设 f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a_. 解析：f(x)ax33x22，f(x)3ax26x， f(1)3a64，即 a. 10 3 答案：10 3 5若函数 f(x) 在 xc(c0)处的导数值与函数值互为相反数，求 c 的值 ex x 解：f(x) ，f(c) ， ex x ec c 又 f(x)，f(c)， ex·xex x2 ex(x1) x2 ec(c1) c2 依题意知 f(c)f(c)0， 0， ec c ec(c1) c2 2c10 得 c . 1 2 导数运算法则的综合应用 例 3 已知抛物线 yax2bxc 通过点 P(1,1)， 且在点 Q(2， 1)处与直线 yx 3 相切，求实数 a、b、c 的值 思路点拨 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组 来确定参数 a、b、c 的值 精解详析 曲线 yax2bxc 过 P(1,1)点， abc1. y2axb，当 x2 时，y4ab. 4ab1. 又曲线过 Q(2，1)点，4a2bc1. 联立，解得 a3，b11，c9. 一点通 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要 充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点 Q(2，1) 在曲线上这一关键的隐含条件 6已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分 别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_ 解析：易知抛物线 y x2上的点 P(4,8)，Q(2,2)， 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 且 yx， 则过点 P 的切线方程为 y4x8， 过点 Q 的切线方程为 y2x2，联立两 个方程解得交点 A(1，4)，所以点 A 的纵坐标是4. 答案：4 7已知 f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1，求 f(x)的解析式 解：由 f(x)为一次函数可知 f(x)为二次函数 设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(x)2axb. 把 f(x)，f(x)代入方程 x2f(x)(2x1)f(x)1 中得： x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1， 即(ab)x2(b2c)xc10. 要使方程对任意 x 恒成立， 则需有 ab，b2c，c10， 解得 a2，b2，c1， 所以 f(x)2x22x1. 1应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进 行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错 2对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等 价性 对应课时跟踪训练(四) 一、填空题 1(广东高考)曲线 y5ex3 在点(0，2) 处的切线方程为_ 解析：由 y5ex3 得，y5ex，所以切线的斜率 ky|x05，所以切线方 程为 y25(x0)，即 5xy20. 答案：5xy20 2设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0_. 解析：f(x)ln xx· ln x1. 1 x f(x0)2，1ln x02， x0e. 答案：e 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3函数 f(x)excos x，x0,2，且 f(x0)0，则 x0_. 解析：f(x)excos xexsin x， 由 f(x0)0，得 ex0cos x0ex0sin x00， cos x0sin x0，即 tan x01. 又x00,2，x0 或. 4 5 4 答案： 或 4 5 4 4(江西高考)若曲线 yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则 _. 解析：由题意 yx1，在点(1,2)处的切线的斜率为 k，又切线过坐标原点，所 以 2. 20 10 答案：2 5曲线 y在点(1,1)处的切线方程为_ x 2x1 解析：y，当 x1 时，y1. 1 (2x1)2 切线方程为 y1(x1)，即 xy20. 答案：xy20 二、解答题 6求下列函数的导数： (1)ysin x3x2x； (2)y(1cos x)(2x2ex) 解：(1)y(sin x3x2x)(sin x)(3x2)xcos x6x1. (2)y(1cos x)(2x2ex) (1cos x)(2x2ex)(1cos x)(2x2ex) sin x(2x2ex)(1cos x)(4xex) ex(1cos xsin x)2x2sin x4x(1cos x) 7设定义在(0，)上的函数 f(x)axb(a0) 1 ax (1)求 f(x)的最小值； (2)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值 3 2 解：(1)法一：由题设和基本不等式可知， f(x)axb2b， 1 ax 其中等号成立当且仅当 ax1， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即当 x 时，f(x)取最小值为 2b. 1 a 法二：f(x)的导数 f(x)a， 1 ax2 a2x21 ax2 当 x 时，f(x)0，f(x)在上单调递增； 1 a ( 1 a，) 当 0x 时，f(x)0，f(x)在上单调递减 1 a (0， 1 a) 所以当 x 时，f(x)取最小值为 2b. 1 a (2)由题设知，f(x)a，f(1)a ， 1 ax2 1 a 3 2 解得 a2 或 a (不合题意，舍去) 1 2 将 a2 代入 f(1)a b ， 1 a 3 2 解得 b1.所以 a2，b1. 8已知函数 f(x) x32x2ax(xR，aR)，在曲线 yf(x)的所有切线中，有且仅有 1 3 一条切线 l 与直线 yx 垂直求 a 的值和切线 l 的方程 解：f(x) x32x2ax， 1 3 f(x)x24xa. 由题意可知，方程 f(x)x24xa1 有两个相等的实根 164(a1)0，a3. f(x)x24x31. 化为 x24x40. 解得切点横坐标为 x2， f(2) ×82×42×3 . 1 3 2 3 切线 l 的方程为 y (1)(x2)， 2 3 即 3x3y80. a3，切线 l 的方程为 3x3y80.