2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：2.3反证法与放缩法导学案 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.3 反证法与放缩法反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用 2掌握反证法证明不等式的方法 3掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 来源:学_科_网 二、合作探究 探究 1用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究 2运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明 用反证法证明数学命题， 实际上 是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推 出矛盾” (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立 (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及 事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立 来源:学+科+网 Z+X+X+K 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理， 且必须根据这一条件进行论证 ； 否则， 仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 3放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某 些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的放缩是一种重要手段，放缩时应 目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握 常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩；来源:Z.xx.k.Com 第四，利用基本不等式放缩 例如： ；2( 1 n2 1 nn1 1 n1 1 n 1 n2 1 nn1 1 n 1 n1 1 n 2 n n1 n1n )，1. 【例 1】 若 a3b32，求证：ab2. 【变式训练 1】 若假设 a， b， c， d 都是小于 1 的正数， 求证 ： 4a(1b)， 4b(1c)， 4c(1 d)，4d(1a)这四个数不可能都大于 1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 2】 设 x，y，z 满足 xyza(a0)，x2y2z2 a2.求证：x，y，z 都不能是 1 2 负数或大于 a 的数 2 3 【变式训练2】 证明 ： 若函数f(x)在区间a， b上是增函数， 那么方程f(x)0在区间a， b 上至多有一个实根 【例 3】 求证：2(1) (xyz) x2xyy2y2yzz2z2zxx2 3 2 【变式训练 4】 设 x0，y0，x0，求证： xyz.x2xyy2y2yzz2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 参考答案参考答案 探究 1提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理， 且必须根据这一条件进行论证 ； 否则， 仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾， 有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的 探究 2 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不 等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小； 反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大， 这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些 都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式 【例 1】 证法一 假设 ab2，则 a2b， 2a3b3(2b)3b3，即 2812b6b2，即(b1)22，而 a2abb2(a b)2 b20，但取等号的条件是 ab0， 1 2 3 4 显然不可能 a2abb20. 则 a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2) 又a3b32， a2abb2a2b22ab. ab1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (ab)2a2b22ab (a2abb2)3ab ，b(1c) ，c(1d) ，d(1a) . 1 4 1 4 1 4 1 4 ， ， ， .(1)ab 1 2 (1)bc 1 2 (1)cd 1 2 (1)da 1 2 又，(1)ab (1) 2 ab (1)bc (1) 2 bc (1)cd (1) 2 cd ，(1)da (1) 2 da ， ， ， . (1) 2 ab1 2 (1) 2 bc1 2 (1) 2 cd1 2 (1) 2 da1 2 以上四个式子相加，得 22，矛盾 原命题结论成立 【例 2】 【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数， 若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x0，xa. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 z2a2.这与 x2y2z2 a2相矛盾 1 2 若 x，y，z 全为负数，则与 xyza0 矛盾来源:学#科#网 综上所述，x，y，z 都不为负数 (2)假设 x，y，z 有大于 a 的数 2 3 若 x，y，z 中有一个大于 a，不妨设 x a. 2 3 2 3 由 a2x2y2z2 (yz)2 (ax)2得 1 2 1 2 1 2 x2ax0，即 x0，这与 x a 相矛盾 3 2 3 2(x 2 3a) 2 3 若 x，y，z 中有两个或三个大于 a，这与 xyza 相矛盾 2 3 综上所述，x，y，z 都不能大于 a. 2 3 由(1)、(2)知，原命题成立 【变式训练 2】证明 假设方程 f(x)0 在区间a，b上至少有两个实根，设 ， 为其 中的两个实根 ，不妨设 . 函数 f(x)在区间a，b上是增函数， f()f()这与 f()f()0 矛盾 所以方程 f(x)0 在区间a，b上至多有一个实数根 【例 3】 【证明】 对 kN，1kn，有 2() 1 k 2 k k1 k1k 12(1)2()2()2(1) 1 2 1 3 1 n 232n1nn1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 (xyz) x2xyy2y2yzz2z2zxx2 3 2 【变式训练 4】证明 x0，y0，z0， |x |x .同理z .x2xyy2 22 3 () 24 y xy 2 () 2 y x y 2 y 2 y2yzz2 y 2 二式相加，得 xyz.x2xyy2y2yzz2