2019数学新设计人教A选修1-2精练：第三章 数系的扩充与复数的引入 测评 Word版含答案.pdf
高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第三章测评第三章测评 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.计算:i(1+i)2=( ) A.-2B.2C.2iD.-2i 解析:i(1+i)2=i·2i=-2. 答案:A 2.在复平面内,复数(i 是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A.第四象限B.第三象限 C.第二象限D.第一象限 解析:,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选 D. 答案:D 3.若 z=4+3i(i 是虚数单位),则 =( ) A.1B.-1 C.iD.i 解析:,故选 D. 答案:D 4.若 i 是虚数单位,则等于( ) A.iB.-iC.1D.-1 解析:因为=i,所以=i4=1. 答案:C 5.复数 z=+(a2+2a-3)i(aR)为纯虚数,则 a 的值为( ) A.a=0B.a=0 且 a-1 C.a=0 或 a=-2D.a1 或 a-3 解析:依题意得解得 a=0 或 a=-2. 答案:C 6.设复数 z=,其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为( ) A.-B.- iC.-D.- i 解析:z=a-i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-=- . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:C 7.“m=1”是“复数 z=(1+mi)(1+i)(mR,i 为虚数单位)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若 m=1,则 z=2i 为纯虚数;若 z 为纯虚数,则 m=1. 答案:C 8.已知 z1=1+i(其中 i 为虚数单位),设为复数 z1的共轭复数,则复数 z2在复平面所 对应点的坐标为( ) A.(0,1)B.(1,0) C.(0,2)D.(2,0) 解析:因为 z1=1+i,所以 =1-i, 由得,=1, 得 z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选 B. 答案:B 9.若 z=cos +isin (i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 值可能是( ) A.B.C.D. 解析:z2=(cos +isin )2=(cos2-sin2)+2isin cos =cos 2+isin 2=-1,所以所以 2=2k+(kZ),故 =k+ (kZ),令 k=0 知选 D. 答案:D 10.复数 z 在复平面内对应的点为 A,将点 A 绕坐标原点,按逆时针方向旋转 ,再向左平移一个单 位,向下平移一个单位,得到 B 点,此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称,则复数 z 为( ) A.-1B.1C.iD.-i 解析:设 z=a+bi,B 点对应的复数为 z1,则 z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点 B 与点 A 恰好关于 坐标原点对称,所以于是 z=1. 答案:B 11.设 zC,若 z2为纯虚数,则 z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.直线 y=±x(x0)上 D.以上都不对 解析:设z=a+bi(a,bR),因为z2=a2-b2+2abi为纯虚数,所以所以a=±b,即z在复平面 上的对应点在直线 y=±x(x0)上. 答案:C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12.复数 z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应向量的模为 2,则|z+2|的最大值为( ) A.2B.4C.6D.8 解析:因为|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2 为半径的圆上, 而 |z+2|=|x+yi|=,它表示点(x,y)到原点的距离,结合图形易知|z+2|的最大值为 4,故选 B. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若(i 为虚数单位),则复数 z 等于 . 解析:因为,所以 z=-2i. 答案:-2i 14.若(1+2ai)i=1-bi,其中 a,bR,i 是虚数单位,则|a+bi|=. 解析:由题意得-2a+i=1-bi,所以解得 a=- ,b=-1,所以|a+bi|= . 答案: 15.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量,其中 O 为坐标原点,则|= . 解析: =(-1+3i)-(1+i)=-2+2i, 所以|=2. 答案:2 16.导学号 40294030若复数 z 满足 z+z+ =3,则复数 z 在复平面内对应点的轨迹 所围成图形的面积等于 . 解析:设 z=x+yi(x,yR),则有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即 x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故 复数 z 在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于 ·22=4. 答案:4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)已知复数 z=(2+i)m2-2(1-i),当实数 m 取什么值时,复数 z 是: (1)虚数; (2)纯虚数. 解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i, (1)当 m2-3m+20, 即 m2 且 m1 时,z 为虚数. (2)当 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 m=-时,z 为纯虚数. 18.(本小题满分 12 分)若 z 满足 z-1=(1+z)i,求 z+z2的值. 解:因为 z-1=(1+z)i, 所以 z=-i, 因此 z+z2=-i+=-i+=-1. 19.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足 z=(-1+3i)·(1-i)-4. (1)求复数 z 的共轭复数; (2)若 w=z+ai,且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模,求实数 a 的取值范围. 解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i, 所以复数 z 的共轭复数为-2-4i. (2)w=-2+(4+a)i,复数 w 对应的向量为(-2,4+a),其模为. 又复数 z 所对应向量为(-2,4),其模为 2. 由复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模,得 20+8a+a220,a2+8a0, 所以实数 a 的取值范围是-8a0. 20.(本小题满分 12 分)复数 z=,若 z2+ 0,求纯虚数 a. 解:由 z2+ 0 可知 z2+ 是实数且为负数. z=1-i. 因为 a 为纯虚数,所以设 a=mi(mR,且 m0), 则 z2+=(1-i)2+=-2i+=-i0, 故所以 m=4,即 a=4i. 21.(本小题满分 12 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1+2i,- 2+6i,OABC.求顶点 C 所对应的复数 z. 解:设 z=x+yi(x,yR), 因为 OABC,|OC|=|BA|, 所以 kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|, 即 解得 因为|OA|BC|, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 x2=-3,y2=4(舍去), 故 z=-5. 22.导学号 40294031(本小题满分 12 分)已知虚数 z 满足|2z+5|=|z+10|. (1)求|z|. (2)是否存在实数 m,使为实数,若存在,求出 m 值;若不存在,说明理由. (3)若(1-2i)z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数 z. 解:(1)设 z=x+yi(x,yR,且 y0), 则(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2, 化简得 x2+y2=25,|z|=5. (2)i 为实数,=0. 又y0,x2+y2=25, =0,解得 m=±5. (3)(1-2i)z=(1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i,依题意得 x+2y=y-2x, y=-3x. 又x2+y2=25, 由得 z=i 或 z=-i.
