2018_2019学年高中数学第一章三角函数4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修420190108268.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 44 单位圆的对称性与诱导公式(一)44 单位圆的对称性与诱导公式(一) 内容要求 1.会利用单位圆探究正弦函数、 余弦函数的基本性质， 并能初步运用性质解决相 关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用. 3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的 求值、化简和证明问题(难点) 知识点 1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数 ysin x 余弦函数 ycos x 定义域R R 值域1,1 周期2 在0,2上的单调性 在，上 0， 2 3 2 ，2 是增加的；在上 2 ，3 2 是减少的 在，2上是增加的 ； 在0，上是减少的 【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)正弦函数ysin x与余弦函数ycos x的定义域都是 R R.() (2)函数ysin x在0，上是单调减函数(×) (3)函数ycos x在0，上的值域是0,1(×) (4)函数ysin x的最大值为 1，最小值为1.() 知识点 2 2k±，±(kZ Z)的诱导公式 对任意角，有下列关系式成立： sin(2k)sin ，cos(2k)cos .(1.8) sin()sin ，cos()cos .(1.9) sin(2)sin ，cos(2)cos .(1.10) sin()sin ，cos()cos .(1.11) sin()sin ，cos()cos .(1.12) 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限” 其含义是诱导公式两边的函数 名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号 【预习评价】 1视为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表. 角2k2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所在象限一二三四四 2.设为任意角，则 2k，2k，的终边与的终边有 怎样的对应关系？试完成下表. 相关角终边之间的对称关系 2k与 终边相同 与关于原点对称 与关于x轴对称 2与关于x轴对称 与关于y轴对称 题型一 正弦函数、余弦函数的定义域问题 【例 1】 求下列函数的定义域： (1)y4cos x； (2)y.2sin x1 解 (1)由y4cos x知定义域为 R R. (2)由题意知 2sin x10， 即 sin x 在一周期内满足上述条件的角为x 1 2 2 ，3 2 ，由此可以得到函数的定义域为(kZ Z) 6 ，7 62k 6 ，2k7 6 规律方法 利用单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调 区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意 识求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式 【训练 1】 (1)函数y的定义域为_ 1 2cos x (2)函数yln sin x的定义域为_ 解析 (1)由 2cos x0 知 cos x2， 又由 cos x1,1，故定义域为 R R. (2)由题意知sin x0.又ysin x在0,2内sin x0满足0x， 定义域为 (2k， 2k)(kZ Z) 答案 (1)R R (2)(2k，2k)(kZ Z) 题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题 【例 2】 求下列函数的值域： (1)y(sin x2)21；(2)ymsin xn(m0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)设tsin x，则有y(t2)21，t1,1， 当t1 时 ，y(t2)21 取得最大值 10； 当t1 时，y(t2)21 取得最小值 2， y(sin x2)21 的值域为2,10 (2)sin x1,1，且m0， 当m0 时，ymsin xn的值域是nm，nm； 当m0 时，ymsin xn的值域是nm，nm 综上可知，函数ymsin xn(m0)的值域是n|m|，n|m| 规律方法 求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应 用 【训练 2】 求y cos x，x，的最大值 1 3 2 3 4 解 结合单位圆知y cos x在上y.故最大值为0，即ymax cos 0. 1 3 2 ，3 4 2 2 ，0 1 3 2 方向 1 给角求值问题 【例 31】 求下列三角函数的值： (1)sin；(2)cos 960°. ( 19 4 ) 解 (1)sinsinsin ( 19 4 ) 19 4(4 3 4) sin sinsin. 3 4( 4) 4 2 2 (2)cos 960°cos(240°2×360°)cos 240° cos(180°60°)cos 60° . 1 2 方向 2 给值求值问题 【例 32】 已知 sin(75°)，求 sin(105°)的值 2 2 3 解 sin(105°)sin180°(75°) sin(75°). 2 2 3 方向 3 化简问题 【例 33】 化简(注：对任意角有 sin2cos21 成立). 12sin 290°cos 430° sin 250°cos 790° 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 原式 12sin360°70°cos360°70° sin180°70°cos720°70° 12sin 70°cos 70° sin 70°cos 70° |cos 70°sin 70°| cos 70°sin 70° 1. sin 70°cos 70° cos 70°sin 70° 规律方法 1.解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间 的差异及联系 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化 2化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、 余弦函数要求出值 (2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角. 课堂达标 1sin 585°的值为( ) AB. 2 2 2 2 C D. 3 2 3 2 解析 sin 585°sin(360°225°)sin(180°45°) sin 45°. 2 2 答案 A 2若 sin x2m3，且x，则m的取值范围为( ) 6 ， 6 A.B. 1 2， 1 2 5 4， 1 2 C. D. 7 4， 5 4 7 4， 1 2 解析 x，结合单位圆知 sin x，即 2m3 . 6 ， 6 1 2， 1 2 1 2 1 2 m . 7 4 5 4 答案 C 3 在平面直角坐标系xOy中， 角与角均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称 .若 sin 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ，则 sin _ 1 3 解析 与的终边关于y轴对称， 则2k，kZ Z， 2k，kZ Z. sin sin(2k)sin . 1 3 答案 1 3 4已知 cos，则 cos_. ( 6 ) 3 3( 5 6 ) 解析 coscos ( 5 6 ) ( 6 ) cos. ( 6 ) 3 3 答案 3 3 5化简：. cos180°sin360° sin180°cos180° 解 原式 cos sin sin180°cos180° sin cos sin180°cos180° 1. sin cos sin cos 课堂小结 1求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性 在求解时的作用 2明确各诱导公式的作用 (1)将角转化为 02 之间的角求值 ； (2)将 02 内的角转化为 0 之间的角求值 ； (3) 将负角转化为正角求值 3诱导公式的记忆 诱导公式的记忆口诀是 “函数名不变， 符号看象限” 其含义是诱导公式两边的函数名称一致， 符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，看成锐角，只 是公式记忆的方便，实际上可以是任意角. 基础过关 1cos 660°的值为( ) AB. 1 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C D. 3 2 3 2 解析 cos 660°cos(360°300°)cos 300° cos(180°120°)cos 120°cos(180°60°) cos 60° . 1 2 答案 B 2若 sin()0，则在( ) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析 sin()sin 0. cos()cos()cos 0，cos 0，为第二象限角 答案 B 3已知 sin，则 sin的值为( ) ( 5 4 ) 3 2( 3 4 ) A.B 1 2 1 2 C.D 3 2 3 2 解析 sinsinsinsin. ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 4 ) ( 5 4 ) 3 2 答案 D 4函数y2sin x的最小正周期为_ 解析 因为 2sin(2x)2sin x，所以y2sin x的最小正周期为 2. 答案 2 5f(x)asin(x)bcos(x)2，其中a、b、为非零常数若f(2 016)1，则f(2 017)_. 解析 f(2 016)asin(2 016)bcos(2 016)2asin bcos 2 1，asin bcos 1. f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)2(asin bcos )2( 1)23. 答案 3 6化简下列各式 (1)sin()cos ； 19 3 7 6 (2)sin(960°)cos 1 470°cos(240°)sin(210°) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)sin()cos 19 3 7 6 sin(6)cos() 3 6 sin cos . 3 6 3 4 (2)sin(960°)cos 1 470°cos 240°sin(210°) sin(180°60°2×360°)cos(30°4×360°) cos(180°60°)sin(180°30°) sin 60°cos 30°cos 60°sin 30° 1. 7(1)已知函数yacos xb的最大值是 0，最小值是4，求a、b的值； (2)求y2sin x，x ， 的最大值与最小值 1 6 3 4 解 (1)当a0 时，Error!解得Error! 当a0 时，Error!解得Error! a2，b2 或ab2. (2)当x时，ymax1， 6 当x时，ymin2. 2 能力提升 8若 cos() ， 2，则 sin(2)等于( ) 1 2 3 2 A.B± 1 2 3 2 C. D. 3 2 3 2 解析 由 cos() ，得 cos ， 1 2 1 2 2， . 3 2 5 3 故 sin(2)sin sin sin (为第四象限角) 5 3 3 3 2 答案 D 9 在ABC中， 给出下列四个式子 ： sin(AB)sin C； cos(AB)cos C； sin(2A 2B)sin 2C； cos(2A2B)cos 2C. 其中为常数的是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB CD 解析 sin(AB)sin C2sin C； cos(AB)cos Ccos Ccos C0； sin(2A2B)sin 2Csin2(AB)sin 2C sin2(C)sin 2C sin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0； cos(2A2B)cos 2Ccos2(AB)cos 2C cos2(C)cos 2C cos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C. 故选 B. 答案 B 10下列三角函数，其中nZ Z，则函数值与 sin的值相同的是_(只填序号) 3 sin；cos；sin； (n 4 3)(2n 6)(2n 3) cos；sin. 2n1 62n1 3 解析 对于，当n2m时，sinsinsin，不同； (2m 4 3) 4 3 3 对于，coscossin，相同； (2n 6) 6 3 对于，coscossin. 2n1 6 5 6 3 不同； 对于，sinsinsin， 2n1 3( 3) 3 相同 答案 11已知f(x)Error!则f()f()_. 11 6 11 6 解析 f()sin()sin ， 11 6 11 6 6 1 2 f()f( )1f( )2sin()2 ， 11 6 5 6 1 6 6 5 2 f()f() 2. 11 6 11 6 1 2 5 2 答案 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12化简：(kZ Z) sinkcosk1 sink1cosk 解 当k2n(nZ Z)时， 原式sin2ncos2n1 sin2n1cos2n 1； sincos sincos sin cos sin cos 当k2n1(nZ Z)时， 原式sin2n1cos2n11 sin2n11cos2n1 1. sincos sin cos sin cos sin cos 综上，原式1. 13(选做题)若x，求函数ysin2 xsin x1 的最大值和最小值 3 3 4 解 令tsin x. x，结合单位圆知t， 3 ，3 4 2 2 ，1 yt2t1 2 ，t ， (t 1 2) 3 4 2 2 ，1 又t ， 1 2 2 2 ，1 当t时，ymin 1； 2 2 1 2 2 2 3 2 2 当t1 时，ymax1.