2020版广西高考人教A版数学（理）一轮复习考点规范练：64 离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 64 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 考点规范练考点规范练 B 册第册第 48 页页 基础巩固基础巩固 1.已知 X 的分布列如下表,设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( ) X- 1 01 P1 2 1 3 1 6 A.B.4C.-1D.1 7 3 答案 A 解析E(X)=-=- , 1 2 + 1 6 1 3 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=- +3= . 2 3 7 3 2.某日 A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知 A 市或 B 市至少有一个受台风袭击的概率为 0.36,若用 X 表示这一天受台风袭击的城市个数,则 E(X)=( ) A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 答案 D 解析设 A,B两城市受台风袭击的概率均为 p, 则 A市或 B 市都不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36, 解得 p=0.2 或 p=1.8(舍去),P(X=0)=1-0.36=0.64, P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32, P(X=2)=0.2×0.2=0.04, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4,故选 D. 3.已知随机变量 满足 P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若 0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2) 答案 A 解析E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2). D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2), D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选 A. 4.已知随机变量 的分布列为 123 P0.5xy 若 E()=,则 D()等于( ) 15 8 A.B.C.D. 33 64 55 64 7 32 9 32 答案 B 解析由分布列的性质得 x+y=0.5, 又 E()=,所以 2x+3y=, 15 8 11 8 解得 x= ,y= . 1 8 3 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 D()=( 1 - 15 8) 2 × 1 2 +( 2 - 15 8) 2 × 1 8 +( 3 - 15 8) 2 × 3 8 =. 55 64 5.某地区一模考试数学成绩 X 服从正态分布 N(90,2),且 P(X70)=0.2,从该地区参加一模考试的学生 中随机抽取 10 名学生的数学成绩,数学成绩在70,110的人数记作随机变量 ,则 的方差为( ) A.2B.2.1C.2.4D.3 答案 C 解析由正态分布知,每名学生数学成绩在70,110的概率为 2×(0.5-0.2)=0.6,所以 10 名学生的数学成 绩在70,110的人数 服从二项分布 B(10,0.6),所以随机变量 的方差为 10×0.6×0.4=2.4. 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种 的种子数记为 X,则 X 的均值为 . 答案 200 解析记不发芽的种子数为 Y,则 YB(1 000,0.1), E(Y)=1 000×0.1=100. 又 X=2Y,E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200. 7.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件,若 X 表示取到次品的件数,则 D(X)= . 答案 9 16 解析由题意可知取到次品的概率为 ,则 XB, 1 4 ( 3, 1 4) 故 D(X)=3×. 1 4 ×( 1 - 1 4) = 9 16 8.生产 A,B两种元件,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测70,76)76,82)82,88)88,94)94,100 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 试 指 标 分 数 元 件 A 81240328 元 件 B 71840296 (1)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (2)生产 1 件元件 A,若是正品,则可盈利 40 元;若是次品,则亏损 5 元;生产 1 件元件 B,若是正品,则可 盈利 50元;若是次品,则亏损 10 元.在(1)的前提下. 记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和均值; 求生产 5件元件 B所获得的利润不少于 140 元的概率. 解(1)元件 A 为正品的概率约为.元件 B为正品的概率约为. 40 + 32 + 8 100 = 4 5 40 + 29 + 6 100 = 3 4 (2)生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 可以分为以下四种情况:A 正 B 正,A 次 B 正,A 正 B 次,A 次 B次. 随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,-15. P(X=90)=, 4 5 × 3 4 = 3 5 P(X=45)=, ( 1 - 4 5) × 3 4 = 3 20 P(X=30)=, 4 5 ×( 1 - 3 4) = 1 5 P(X=-15)=. ( 1 - 4 5) ×( 1 - 3 4) = 1 20 随机变量 X 的分布列为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 X9045 30- 15 P 3 5 3 20 1 5 1 20 E(X)=90× +45×+30× +(-15)×=66. 3 5 3 20 1 5 1 20 设生产的 5 件元件 B中正品有 n 件,则次品有(5-n)件. 依题意得 50n-10(5-n)140,解得 n,故 n=4 或 n=5. 19 6 设“生产 5件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 M, 则 P(M)=.C4 5( 3 4) 4 × 1 4 +(3 4) 5 = 81 128 9.有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他 们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下: X8910 P0.20.60.2 Y8910 P0.40.20.4 其中 X 和 Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳 定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料. 解 E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9, D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4; E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8. 由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相 对稳定,应选甲厂的材料. 10.2017年 3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方 式,“小绿车”每 30 分钟收费 0.5 元(不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算);“小黄车”每 30 分钟收费 1 元 (不足 30分钟的部分按 30 分钟计算).甲、乙、丙三人相互独立地到租车点租车骑行(各租一车一次). 设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为,三人的租车时间都不会超过 60 分钟.甲、乙均 3 4, 2 3, 1 2 租用“小绿车”,丙租用“小黄车”. (1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率; (2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ,求 的分布列和数学期望. 解(1)由题意,得甲、乙、丙在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为. 1 4, 1 3, 1 2 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件 A. 则 P(A)=. 3 4 × 2 3 × 1 2 + 1 4 × 1 3 × 1 2 = 7 24 (2)的可能取值有 2,2.5,3,3.5,4, 则 P(=2)=, 3 4 × 2 3 × 1 2 = 1 4 P(=2.5)=, 3 4 × 1 3 × 1 2 + 1 4 × 2 3 × 1 2 = 5 24 P(=3)=, 3 4 × 2 3 × 1 2 + 1 4 × 1 3 × 1 2 = 7 24 P(=3.5)=, 3 4 × 1 3 × 1 2 + 1 4 × 2 3 × 1 2 = 5 24 P(=4)=. 1 4 × 1 3 × 1 2 = 1 24 故甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 的分布列为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22.53 3.54 P1 4 5 24 7 24 5 24 1 24 E()=2× +2.5×+3×+3.5×+4×. 1 4 5 24 7 24 5 24 1 24 = 67 24 能力提升能力提升 11.为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段 时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药 者. (1)从服药的 50名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率; (2)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 的分 布列和数学期望 E(); (3)试判断这 100名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出 结论) 解(1)由图知,在服药的 50名患者中,指标 y的值小于 60的有 15 人,所以从服药的 50 名患者中随机选 出一人,此人指标 y的值小于 60 的概率为=0.3. 15 50 (2)由图知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2人:A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. P(=0)=,P(=1)=, C2 2 C2 4 = 1 6 C1 2C12 C2 4 = 2 3 P(=2)=. C2 2 C2 4 = 1 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 的分布列为 012 P1 6 2 3 1 6 故 的期望 E()=0× +1× +2× =1. 1 6 2 3 1 6 (3)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差. 高考预测高考预测 12.为了了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位:kg)情况,将他们的体重数据整理后得到 如右频率分布直方图.已知图中从左至右前 3 个小组的频率之比为 123,其中第 2 小组的频数为 12. (1)求该校报考体育专业学生的总人数 n; (2)已知 A,B,C,a 是该校报考体育专业的 4 名学生,A,B,C的体重小于 55 kg,a 的体重不小于 70 kg,且 A,B 各有 5分体育加分,C,a 各有 10 分体育加分,其他学生无体育加分.从体重小于 55 kg 的学生中抽取 2 人,从体重不小于 70 kg 的学生中抽取 1 人,组成 3 人训练组,训练组中 3 人的体育总加分记为 ,求 的分布列和均值. 解(1)设该校报考体育专业学生的总人数为 n,前 3 个小组的频率分别为 p1,p2,p3,则由题意 知,p2=2p1,p3=3p1,p1+p2+p3+(0.037 5+0.012 5)×5=1,解得 p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375, 又因为 p2=0.25=,所以 n=48. 12 (2)由题意可知,在报考体育专业的学生中,体重小于 55 kg 的人数为 48×0.125=6, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 记他们分别为 A,B,C,D,E,F, 体重不小于 70 kg 的人数为 48×0.012 5×5=3,分别记为 a,b,c; 则 =0,5,10,15,20,25, P(=0)=, C2 3 C2 6 × C1 2 C1 3 = 2 15 P(=5)=, C1 2 ·C 1 3 C2 6 × C1 2 C1 3 = 4 15 P(=10)=, C2 2+ C11 ·C 1 3 C2 6 × C1 2 C1 3 + C2 3 C2 6 × C1 1 C1 3 = 11 45 P(=15)=, C1 2 ·C 1 1 C2 6 × C1 2 C1 3 + C1 2 ·C 1 3 C2 6 × C1 1 C1 3 = 2 9 P(=20)=, C2 2 C2 6 × C1 1 C1 3 + C1 1 ·C 1 3 C2 6 × C1 1 C1 3 = 4 45 P(=25)=, C1 2 ·C 1 1 C2 6 × C1 1 C1 3 = 2 45 则 的分布列为 0 5 10 1520 25 P 2 15 4 15 11 45 2 9 4 45 2 45 的均值 E()=0×+5×+10×+15× +20×+25×=10. 2 15 4 15 11 45 2 9 4 45 2 45