（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线（1）文.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (一)直线与圆锥曲线(1)(一)直线与圆锥曲线(1) 1(2018·烟台模拟)已知椭圆C：1(ab0)，点在椭圆上，过C的焦点且与 x2 a2 y2 b2(3， 3 2) 长轴垂直的弦的长度为 . 1 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点A(2,0)作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点(点P在点Q的上方)，l2 与椭圆交于M，N两点(点M在点N的上方)，若直线l1的斜率为 ，SMAPSNAQ，求直 1 7 25 34 线l2的斜率 解 (1)由已知得Error! 解得a6，b1. 故椭圆C的标准方程为y21. x2 36 (2)由题设可知：直线l1的方程为x7y2. 联立Error! 整理得 85y228y320. yP，yQ . 8 17 4 5 . |AQ| |AP| |yQ| |yP| 4 5 8 17 17 10 设MAPQAN， SMAPSNAQ， 25 34 |AM|AP|sin × |AN|AQ|sin ， 1 2 25 34 1 2 即×× . |AM| |AN| 25 34 |AQ| |AP| 25 34 17 10 5 4 设直线l2的方程为xmy2(m0)， 将xmy2 代入y21， x2 36 得(m236)y24my320. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1y2，y1y2. 4m m236 32 m236 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又y1y2， 5 4 y2y2，y， 5 4 4m m236 5 4 2 2 32 m236 y2，y， 16m m236 2 2 128 5(m236) 2 ， ( 16m m236) 128 5 m236 解得m24，m±2，此时式的判别式大于零 故直线l2的斜率为± . 1 2 2 (2018·南昌模拟)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点分别是F1，F2， x2 a2 y2 b2 ( 2，0)( 2，0 ) 点E在椭圆C上 ( 2， 3 2 2) (1)求椭圆C的方程； (2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得2，求以F1P为直径的圆面MP PN 积的取值范围 解 (1)由已知，得半焦距c，2 2a|EF1|EF2|4，89 2 3 2 2 2 所以a2，所以b2a2c2826，2 所以椭圆C的方程是1. x2 8 y2 6 (2)设点P的坐标为(0，t)， 当直线MN斜率不存在时， 可得M，N分别是短轴的两端点， 得到t±. 6 3 当直线MN斜率存在时， 设直线MN的方程为ykxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由2得x12x2，MP PN 联立Error! 得(34k2)x28ktx4t2240， 由题意，得64k2t24(34k2)(4t224)0， 整理得t2 1 2) 点的距离为 . 5 8 (1)求抛物线C的方程； (2)若P是C上一动点，且P不在直线l：y2x9y0上，l交C于E，F两点，过P作直线垂 直于x轴且交l于点M，过P作l的垂线，垂足为N.证明：|EF|. |AM|2 |AN| (1)解 依题意得Error! ， 1 8p p 2 5 8 p ，p1，故抛物线C的方程为x22y. 1 2 (2)证明 由(1)知，y0 ，联立Error! 1 8 得 4x216x90， 解得x1 ，x2 ， 1 2 9 2 |EF|5.122|9 2( 1 2)| 5 设P， (m， m2 2)(m 1 2且m 9 2) 则M的横坐标为m，易知A在l上， 则|AM|.5|m1 2| 由题意可知直线PN的方程为y (xm)， m2 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 与y2x 联立可得xN， 9 8 1 5(m 2m9 4) 所以|AN| 5|1 5(m 2m9 4) 1 2| ， 5 5|(m 1 2) 2| 则5，故|EF|. |AM|2 |AN| 5 |AM|2 |AN| 4(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：1(ab0)，A，B是椭圆 x2 a2 y2 b2 与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点， 设直线MA的斜率为k1， 直线MB的斜率为k2，k1k2 . 2 3 (1)求椭圆C的离心率； (2)设直线l与x轴交于点D(，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足3，当OPQ的3DP QD 面积最大时，求椭圆C的方程 解 (1)M(0，b)，A(a,0)，B(a,0)，k1 ，k2 ， b a b a k1k2 · ，e . b a b a b2 a2 2 3 c a 3 3 (2)由(1)知e ， c a 3 3 得a23c2，b22c2， 可设椭圆C的方程为 2x23y26c2， 设直线l的方程为xmy，3 由Error! 得(2m23)y24my66c20，3 因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点， 所以48m24(2m23)(66c2)0， 由根与系数的关系得，y1y2，y1y2. 4 3 m 2m23 66c2 2m23 又3，所以y13y2，DP QD 代入上述两式得 66c2， 36m2 2m23 所以SOPQ |OD|y1y2| 1 2 3 2| 8 3 m 2m23| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ， 12|m| 2|m|23 12 2|m| 3 |m| 6 当且仅当m2 时，等号成立，此时c2 ， 3 2 5 2 代入，此时0 成立， 所以椭圆C的方程为1. 2x2 15 y2 5 5(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆的一个顶 x2 a2 y2 b2 2 2 点与两个焦点构成的三角形面积为 2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线yk(x1)(k0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点 ()若，求k的值；MB AN ()若点Q的坐标为，求证：·为定值 ( 7 4，0) QA QB (1)解 因为1(ab0)满足a2b2c2， x2 a2 y2 b2 又离心率为，所以 ， 2 2 c a 2 2 即a22c2，代入a2b2c2，得b2c2. 又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2， 即 ×b×2c2，即bc2，b2c24， 1 2 以上各式联立解得a24，b22， 则椭圆C的方程为1. x2 4 y2 2 (2)()解 直线yk(x1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0，k)， 联立Error!消去y得， (12k2)x24k2x2k240， 16k44(12k2)(2k24)24k2160， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2， 4k2 12k2 又(x21，y2)，(x1，ky1)，MB AN 由，得x1x21，MB AN 4k2 12k2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得k±，由k0，得k. 2 2 2 2 ()证明 由()知x1x2，x1x2， 4k2 12k2 2k24 12k2 所以· ·QA QB (x 17 4，y 1) (x27 4，y 2) y1y2 (x 17 4)(x 27 4) k2(x11)(x21)， (x 17 4)(x 27 4) (1k2)k2， 2k24 12k2( 7 4k 2) 4k2 12k2 49 16 ， 2k242k44k27k24k4k22k4 12k2 49 16 4，为定值， 8k24 12k2 49 16 49 16 15 16 所以·为定值QA QB