2020版广西高考人教A版数学（文）一轮复习考点规范练：30 等比数列及其前n项和 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 30 等比数列及其前等比数列及其前 n项和项和 考点规范练考点规范练 B 册第册第 19 页页 一、基础巩固 1.已知等比数列an满足 a1=,a3a5=4(a4-1),则 a2=( ) A.2B.1C.D. 答案 C 解析a3a5=4(a4-1),=4(a4-1),解得 a4=2.24 又 a4=a1q3,且 a1= ,q=2.a2=a1q= . 1 4 1 2 2.在正项等比数列an中,a2,a48是方程 2x2-7x+6=0的两个根,则 a1·a2·a25·a48·a49的值为( ) A.B.9C.±9D.35 21 2 33 答案 B 解析a2,a48是方程 2x2-7x+6=0 的两个根, a2·a48=3. 又 a1·a49=a2·a48=3,a250, 2 25 a1·a2·a25·a48·a49=9.故选 B. 5 25 3 3.(2018北京,文 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为 这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从 第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为 12 2 f,则第八个单音的频率为( ) A.fB.fC.fD.f 3 2 3 22 12 25 12 27 答案 D 解析由题意知,这十三个单音的频率构成首项为 f,公比为的等比数列,则第八个单音的频率为( 12 2 )7f=f. 12 2 12 27 4.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ) A.7B.5C.-5D.-7 答案 D 解析an为等比数列,a5a6=a4a7=-8. 联立可解得 4+ 7= 2, 47= - 8, 4= 4, 7= - 2或 4= - 2, 7= 4, 当时,q3=- , 4= 4, 7= - 2 1 2 故 a1+a10=+a7q3=-7; 4 3 当时,q3=-2, 4= - 2, 7= 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 a1+a10=+a7q3=-7. 4 3 综上可知,a1+a10=-7. 5.等差数列an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则an的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1)B.n(n-1)C.D. ( + 1) 2 ( - 1) 2 答案 A 解析a2,a4,a8成等比数列, =a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得 a1=2.24 Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1). ( - 1) 2 故选 A. 6.设数列an是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn为其前 n 项和.若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值 为 . 答案- 解析由已知得 S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6. 4 × 3 2 S1,S2,S4成等比数列,(2a1-1)2=a1(4a1-6), 整理,得 2a1+1=0,解得 a1=- . 1 2 7.设数列an的前 n项和为 Sn,若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则 a1= ,S5= . 答案 1 121 解析由题意,可得 a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以 a1=1,a2=3. 再由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2), 得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n2). 又因为 a2=3a1, 所以数列an是以 1为首项,3 为公比的等比数列. 所以 S5=121. 1 - 35 1 - 3 8.(2018辽宁部分重点高中联考)已知数列an是等差数列,a2,a4,a8成等比数列,则该等比数列的公比 为 . 答案 1 或 2 解析设an的公差为 d. a2,a4,a8成等比数列,=a2a8,24 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 即 d2=a1d,d=0或 d=a1. 当 d=0时,a2=a4,公比为 1; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 d=a1时,a2=2d,a4=4d,公比为 2. 故等比数列的公比为 1 或 2. 9.(2018全国,文 17)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn=. (1)求 b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式. 解(1)由条件可得 an+1=an. 2( + 1) 将 n=1代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4. 将 n=2代入得,a3=3a2,所以 a3=12. 从而 b1=1,b2=2, b3=4. (2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 由条件可得,即 bn+1=2bn,又 b1=1, + 1 + 1 = 2 所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1,所以 an=n·2n-1. 10.已知an是公差为 3的等差数列,数列bn满足 b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求an的通项公式; (2)求bn的前 n 项和. 解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得 a1=2. 所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1. (2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1=, 3 因此bn是首项为 1,公比为 的等比数列. 1 3 记bn的前 n项和为 Sn, 则 Sn=. 1 - ( 1 3) 1 - 1 3 = 3 2 1 2 × 3 - 1 11.已知等差数列an的前 n项和为 Sn,且 S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列bn是等比数列,且 b1b2=b3,2b1=a5. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)求数列|an|的前 n 项和 Tn. 解(1)设等差数列an的公差为 d. S4=4(a3+1),3a3=5a4, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 41 + 6 = 4(1+ 2 + 1), 31+ 6 = 51+ 15, 解得an=11-2n. 1= 9, = - 2. 设数列bn的公比为 q. b1b2=b3,2b1=a5,解得 21 = 12, 21= 1, 1= 1 2, = 1 2. bn=. ( 1 2) (2)由(1)知,Sn=10n-n2. 由 an=11-2n0可知 n5.5, 即 a10,a20,a50,a60,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数 列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( ) A.6B.7C.8D.9 答案 D 解析a,b是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,a+b=p,ab=q. p0,q0,a0,b0. 又 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 或.2 = - 2, = 4 2 = - 2, = 4 解得解得 = 4, = 1; = 1, = 4. p=a+b=5,q=1×4=4. p+q=9.故选 D. 13. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2018北京石景山一模)如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方 形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有 1 023 个正方形,且其最大 的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为 . 2 2 答案 1 32 解析由题意,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到 1 023 个正方形, 2 2 2 2 则 1+2+2n-1=1 023,解得 n=10,故最小的正方形的边长为. 2 2 ×( 2 2 ) 9 = 1 32 14.设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 答案 64 解析设an的公比为 q. 由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得,解得 q= ,a1=8, 1+ 3 (1+ 3) = 10 5 1 2 所以 a1a2an=8n·,抛物线 f(n)=- n2+ n 的对称轴为 n=- ( 1 2) 1 + 2 + + ( - 1) = 2 - 1 2 2+7 2 1 2 7 2 =3.5, 7 2 2 ×(- 1 2) 又 nN*,所以当 n=3 或 n=4 时,a1a2an取最大值为=26=64.2 - 1 2 × 32+ 7 × 3 2 15.(2018广东东莞二模)已知等比数列an与等差数列bn,a1=b1=1,a1a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4 成等比数列. (1)求an,bn的通项公式; (2)设 Sn,Tn分别是数列an,bn的前 n 项和,若 Sn+Tn100,求 n 的最小值. 解(1)设数列an的公比为 q,数列bn的公差为 d, 则解得(舍)或 2 = 2 + 2, 2= 1 + 3, = 0, = 1 = 1, = 2, 故 an=2n-1,bn=n. (2)由(1)易知 Sn=2n-1,Tn=. 1 - 2 1 - 2 ( + 1) 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由 Sn+Tn100,得 2n+101. ( + 1) 2 是单调递增数列, 2 + ( + 1) 2 且 26+=85101, 6 × 7 2 7 × 8 2 n的最小值为 7. 三、高考预测 16.已知数列an满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2). (1)求证:an+1+2an是等比数列; (2)求数列an的通项公式. (1)证明an+1=an+6an-1(n2), an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2). 又 a1=5,a2=5,a2+2a1=15, an+2an-10(n2),=3(n2), + 1+ 2 + 2 - 1 数列an+1+2an是以 15为首项,3 为公比的等比数列. (2)解由(1)得 an+1+2an=15×3n-1=5×3n, 则 an+1=-2an+5×3n, an+1-3n+1=-2(an-3n). 又 a1-3=2,an-3n0, an-3n是以 2 为首项,-2 为公比的等比数列. an-3n=2×(-2)n-1, 即 an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.