3.5同轴线与平行双线2011(完成).ppt

同轴线与平行双线都是双导体系统，可以传输 TEM 波，其临界波数 kc=0，故在低端，同轴线可工作在较低的频率，直到直流；而在高端，同轴线工作频率可高达几十吉赫滋（GHz），平行双线仅为几百兆赫兹（MHz），前者主要受限于导体损耗，后者主要受限于辐射损耗。,3.5同轴线与平行双线,3.5.1 同轴线中的 TEM 波,同轴线按其结构可分为两种：硬同轴线，其外导体是一根铜管，内导体是一根铜棒、铜线或铜管，硬同轴线可以填充低损耗介质，如聚四氟乙烯，也可以不填充介质；同轴电缆，内导体是单根或多根导线，外导体由金属丝编织而成，内外导体之间充以低损耗介质如聚乙烯，为了保护外导体再套一层介质保护层。同轴线的几何示意图如图 3.18 所示。,图 3.18 同轴线几何示意图,在同轴线中即可传输主模TEM波，也可能存在高次模TE和TM波。,同轴线是多导体系统，因此可以传输TEM波。TEM波的位函数满足二维拉普拉斯方程，在圆柱坐标系中二维拉普拉斯方程的具体形式为 内外导体表面是两个等位面，分别记作1和2 。设沿 方向无变化，即 ，于是式（3.5.1）变为,经两次积分，得,式中，A1和 A2是待定常数。设 a 是外导体的内表面的半径，,电场可用标量位函数的梯度表示,在 r= a 处，= 2；设 b是内导体的外表面的半径，在 r=b处，=1。事实上,由上述式子解出 A1和 A2，分别为 2与1之差记作电压 V，如取 ，即 A2=0，那么,由位函数可计算电场 ，进而由 计算 ，同时补上向+z方向的传播因子 ，可得 式中， 是 TEM 波的波阻抗。图 3.19 给出了同轴线 TEM 波的力线图。,图 3.19 同轴线中 模的力线图（横截面）,电场可用标量位函数的梯度表示,同轴线中的传输功率 积分范围是同轴线的内外导体之间的横截面。 同轴线内导体的电流,式中， 是同轴线内导体的外法向单位矢量， 是 r=b处的磁场切向分量，电流的方向是z方向，积分范围是 r = b 的环路。利用（ VI/2）计算的同轴线中的传输功率与式（3.5.11）相同。,同轴线的特性阻抗 ZC可以由电压、电流的传输功率定义，事实上有三种定义方式，并且这三种定义方式所得结果相同，即 经简单推导，可得同轴线的特性阻抗的表示式为 或 式中，D 和 d 分别是外导体和内导体的直径。ZC的单位是欧姆。这里的 ZC正是在第2 章传输线理论中经常提到的传输线的特性阻抗。同轴线中 TEM 模的电压、电流和传输功率具有确定性，故在传输 TEM 波的情况下，同轴线的特性阻抗也有确定性。,3.5.2 同轴线中的 TE 波和 TM 波,求解同轴线中的 TE 波和 TM 波所用的方法与圆波导中求解的思路相似，但在同轴线中多了内导体的边界条件，因而它的解也变得更复杂。设代表同轴线中的Ez（TM 波）或 Hz（TE 波），有 此式就是式（3.4.4），且 这正是式（3.4.9）。令 u =kcr，那么 R（u）所满足方程为贝塞尔方程（3.4.12），即,其通解为,为了在同轴线的边界条件下求解贝塞尔方程，首先介绍一下当 u 时贝塞尔函数、诺埃曼函数、汉克尔函数的性质。当 u 时，有,这里 是第一类 n 阶汉克尔函数， 是第二类 n 阶汉克尔函数。,和 可用 和 来定义如下： 事实上，这类似于三角函数与指数函数的关系，当 u 时汉克尔函数退化为指数函数，贝塞尔函数退化为余弦函数，诺埃曼函数退化为正弦函数，当然，幅度上有一因子 。 和 分别理解为向内收缩和向外扩展的柱面波。同轴线存在着内外导体，可以设想在内外导体之间同时存在向内收缩和向外扩展的柱面波。 与 之间有式（3.5.23）和式（3.5.24）那样的线性变换关系。R（u）可以写,成 和 的线性组合，也可以写成 和 的线性组合，现取后者代入式中，可得,式中 D1和 D2是两个常数，kc是同轴线中 TE 或 TM 波的临界波数。对于 TE 波，代表Hz，Hz满足的边界条件为,于是得,此方程组有非零解的充分必要条件为行列式 即 求解式（3.5.31）可确定 kc值。进一步利用式（3.5.28）或式（3.5.29）确定 D1和 D2两常数的关系，那么只余下一个待定常数。若给定功率条件，即给定同轴线中的传输功率可确定最后一个常数，这样就求得 Hz的表示式。其余问题是从 Hz分量去计算场的横向分量，此处从略。,对于TM波，代表 Ez分量，Ez分量所满足的边界条件为,于是得 这个方程组有非零解的充分必要条件为 即 由此可解出 TM 波的临界波数 kc。进一步利用式（3.5.34）或式（3.5.35）确定 D1和 D2两常数的关系，类似于 TE 波的求解步骤，求得 的表示式，再由 计算其余 TM 波的各横向场分量，具体求解过程从略。,下面介绍一个有用的近似公式，,同轴线中最低的色散模式为TE11，其截止波长c的近似式为 此式误差在 8% 以内。为了保证同轴线中只有非色散模TEM 波工作，不出现色散模，要求工作波长大于同轴线中TE11模的临界波长，即 图 3.19 给出了同轴线中 TEM 波、 TE11模、TE01模、TM01模、TM11模的力线图。关于TE11模、TE01模、TM01模、TM11模的力线图，有一种简单的富有启发性的思考方法：设想在圆波导的相应的力线图中插入一圆柱形导体，于是边界条件就发生了变化，其力线也应相应地发生变化，以满足新的边界条件。读者可以比较同轴线和圆波导的 TE11、TE01、TM01、TM11力线图，观察其异同点，以此来加深对场方程和边界条件的理解。,式中， 是电流密度，是电荷密度。对上式在体积V上做积分，等式左端第一项变为面积分，第二项需交换积分和微分,3.5.3 同轴线 TEM 波的等效电路,在上一小节中用场的理论导出了同轴线 TEM 波的 ，现在再由场的理论导出无耗同轴线 TEM 波的传输线电报方程。为此，从电荷守恒定律和法拉第电磁感应定律入手，引入分布电容 C1和分布电感 L1，导出同轴线 TEM 波所满足的电报方程。 图 3.20 所示是无限长同轴线中的一段。设同轴线无耗，且仅传播TEM波。做一个仅包围内导体的封闭面S，相应的体积为V，这一段传输线的长度为z。已知微分形式的电荷守恒定律为式（1.2.2），即,图 3.20 对电荷守恒定律作积分所取的体积（虚线）,的顺序，得,面积分仅在内导体的两个截面处有值，记作I2和I1。对电荷密度的积分为q1z，q1为单位长度的电荷。于是上式变为 单位长度电荷q1与单位长度电容C1（分布电容）的关系为 V 是内外导体之间的电压。用z除式（3.5.41），并令 z0，再将式（3.5.42）代入，得,已知微分形式的法拉第电磁感应定律为,图3.21 对法拉第电磁感应定律作积分所取的面积（虚线）,在内外导体之间取一面积 S，形状如图 3.21 虚线所示。对式（3.5.44）在此面积上作积分，相应的第一项变为环路积分，第二项亦需交换积分与微分的顺序，得,式中，S 是图 3.21 中所示的面积，l是包围该面积的环路。引入单位长度的磁通 ，上式变为,单位长度的磁通 与单位长度电感（分布电感）L1的关系为 将式（3.5.47）代入式（3.5.46），令 z0，那么式（3.5.46）变为 显然，式（3.5.43）和式（3.5.48）就是传输线理论中给出的电报方程。稍有不同的是相差一个符号，这是因为假设的电流方向不同。上述推导电报方程的方法具有一般的意义，只要传输线上传输的是 TEM 波，都可用上述方法得到电报方程，并且还可推广到多于两根的多导体系统，3.6.2 小节将详细讨论这一问题。,下面给出同轴线的分布电容和分布电感的表示式。首先求同轴线的分布电容。同轴线中的电位移矢量 内外导体之间的电压 由式（3.5.42）可得分布电容 C1为,再求同轴线中的分布电感。同轴线中的磁场强度,磁通 为 由式（3.5.47）可得分布电感 L1为 读者可以自行验证：根据式（3.5.14）计算的同轴线特性阻抗，与根据式（2.2.16）中分布电感 L1和分布电容 C1计算的同轴线特性阻抗的表示式是一样的。,若同轴线中传播的模为TEM波，其传播常数 ，因此分布电感与分布电容间存在简单的关系为,进一步，特性阻抗也可写成仅与分布电容有关的形式为 无论哪种传输线，只要工作在 TEM 模，其特性阻抗都可写成上述形式。实际上，只要设法算出传输线的分布电容，那么便可立即求得特性阻抗。少数几种传输线可用静电场的方法求得闭合形式的分布电容的表示式。对于复杂形状的传输线需用数值方法求解和计算分布电容，这超出了本书的范围。,3.5.4 平行双线,平行双线的工作模为 TEM 波，其几何参数和电力线、磁力线的分布如图 3.22 所示。平行双线是由两个半径为 a 的圆柱导体平行放置而构成的一种传输线，两平行圆柱导体之间的距离为d。实际上在平行双线之外还存在着大地，通常在分析时忽略大地的影响。,图 3.22 平行双线的几何参数和力线图（a）几何参数 （b）力线图,两根线上的分布电荷分别为q1和 -q1，在距离 r处的电位移矢量 D 的大小为 两导体之间的电压为,由此式可得分布电容的表示式为 根据式（3.5.56），可由平行双线的分布电容导出平行双线的特性阻抗表示式 也可写成以 10 为底的对数的形式,特别是当两圆柱导体的距离比较远时，例如当 d/a 10 时，上式可简化为,通常平行双线的特性阻抗的范围在 75 600 之间。 平行双线是一种开放的传输线，它的场向外部延伸。当平行双线周围安放有其他导体或非导体材料时，平行双线的场分布将受到影响，当平行双线扭曲变形，还将引起辐射，工作频率愈高，这种现象愈明显，因此这种传输线通常用于较低的频率，例如数百兆赫以下。虽然在传统的微波工程领域，使用平行双线的场合是有限的，但是在计算机和数字通信等设备中却获得广泛应用。为了传输多路信息，将平行双线一对对排列起来，作成带状电缆，如图 3.23 所示，图中相邻的两根线构成平行双线，外面包上绝缘层，同时起到固定的作用。市场上的产品的特性阻抗大约在 50 100 之间，或略高于 100。,图 3.23 带状电缆示意图,随着数据传输速率的提高，平行双线在传输时域脉冲信号时也会存在辐射问题，必须引起足够的重视。解决此问题的方法之一是做成屏蔽带状电缆，这当然会增加成本；解决的方法之二是将每对平行双线绞起来，然后再将这种平行绞线做成带状。总之在传输高速（例如数百兆比特）时域脉冲信号时，也应考虑阻抗匹配、电磁辐射、电磁干扰以及时延这些问题。平行双线以及带状电缆是一种经济实用的传输线。,