等比数列的前n项和.ppt
3.2 等比数列的前n项和,学习目标 1理解“错位相减法”求等比数列的前n项和公式，掌握等比数列求和公式，并能应用公式解决有关问题 2灵活运用等比数列前n项和的性质，进一步理解等比数列的性质,课堂互动讲练,知能优化训练,3.2 等比数列的 前n项和,课前自主学案,课前自主学案,1等比数列的前n项和公式,2.等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立) (2)an为公比不为1的等比数列SnAqnB(AB0) (3)SnmSmqmSn(q为公比),1如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之间的函数关系？,提示：在计算等比数列的前n项和时，总是忘记公比q1的情形其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累 在推导等比数列an的前n项和公式过程中， Sna1a1qa1qn1，,当等式两边同乘以q后，得 qSna1qa1q2a1qn. 当q1时，qSna1qa1q2a1qn与Sna1a1qa1qn1是同一个等式， 它们相减后得到00，没有什么意义， 因此当q1时，它们相减后得到的等式(1q)Sna1a1qn才具有意义,当q1时，等比数列an是常数列，则Snna1. 因此等比数列的前n项和公式要分类讨论 根据解题经验，在计算等比数列的前n项和时，首先考虑公比等于1的情形，否则易出错,课堂互动讲练,【答案】 C 【误区警示】 运用等比数列的前n项和公式时，必须注意公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元,在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的性质有：项数相同，对应项的下标差相等，则这些项的和成等比数列；连续m项和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；an为等比数列，且q1SnAqnA(A0),已知Sn是等比数列an的前n项和，且S105，S2015. (1)求S30； (2)S10，S20S10，S30S20是否是等比数列？ (3)求证：Sn，S2nSn，S3nS2n是等比数列 【思路点拨】 灵活应用等比数列的前n项和公式，紧扣定义解答,(2)S105，S20S1010，S30S2020. 且(S20S10)2S10·(S30S20) S10，S20S10，S30S20是等比数列 (3)证明：Sna1a1qa1q2a1qn1 a1(1qqn1)， S3nS2na2n1a2n1qa2n1q2a2n1qn1 a2n1(1qqn1)， S2nSnan1an1qan1q2an1qn1 an1(1qqn1)，,而a1，an1，a2n1是等比数列， Sn，S2nSn，S3nS2n是等比数列 【名师点评】 在解题时，选择适当方法可以提高解题速度，减少解题时间，本题结论很重要，是等比数列较常用的性质之一,互动探究 若将本例条件变为：各项均为正数的等比数列an中，S1010，S3070，求S40.,所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题此种方法一般应用于形如数列anbn的求和，其中数列an是等差数列，数列bn是等比数列,(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn. 【思路点拨】 由题意列方程组可求出an；将an代入bn可知数列bn的各项由两部分组成，一部分是等差数列，另一部分成等比数列，故考虑用错位相减法求和,(2)由(1)的解答可得，bnn·qn1，于是 Sn1·q02·q13·q2n·qn1. 若q1，将上式两边同乘以q，有qSn1·q12·q2(n1)·qn1n·qn.,【名师点评】一般地，若数列an为等差数列，bn为等比数列且公比为q(q1)，求an·bn的前n项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和在写出“Sn”与“q·Sn”时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便进一步地写出“SnqSn”的表达式，最后求和特别注意公比是否为1，若不确定，必须对q1和q1加以讨论这种求和的方法在高考中经常考查，且要求较高,1在等比数列前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分q1和q1讨论，采用不同的公式形式，不可忽略q1的情况,2等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯 3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，且公比q1，求数列an·bn的前n项和时，可采用“乘公比，错位相减法”求和,
