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自 然 数 集,自然数的基数理论,自然数的序数理论,自然数的概念 自然数的顺序关系 自然数的运算,自然数的公理化系统 自然数的运算 自然数的顺序关系 自然数与数学归纳法,自然数集的性质,扩大的自然数集,性质1,问题 假设在教室与操场之间立摆着一列砖块，我们当然可以动手一块一块地把它们全部推倒. 现在只容许动手推倒一块砖的前提下，为了保证外面的砖块都倒下,砖应怎样摆放？应该动手推倒哪一块？,只动手推倒一块砖的前提下时，砖块应按“前砖碰倒后砖”的规律来摆放。,这时只需推倒第一块。,§2 自然数集,自然数与数学归纳法,第一数学归纳法,第二数学归纳法,第一数学归纳法,最小数原理,（归纳公理）,第二数学归纳法,四个命题等价性的 简要说明,关于自然数集的四个命题： 归纳公理 第一数学归纳法 最小数原理 第二数学归纳法 实质上这四个命题是彼此等价的。,由最小数原理 推出归纳公理,问题 两种基本形式的数学归纳法有哪些变形形式？,问题,第一数学归纳法,例题,用第一数学归纳法(变形),练习,试证：任一正方形可以分割成任意个数多于 个的正方形。,分析,把一个正方形分割成 个正方形，这是不难办到的，只要分别连接它的两组对边的中点就可以了，因此，在归纳步骤中，由 成立去推证 成立比较容易。出于这样的考虑，在奠基步骤中宜证明 三种情形。,试证：任一正方形可以分割成任意个数多于 个的正方形。,挑战练习,扩大的自然数集,课堂小结,第一数学归纳法 最小数原理 第二数学归纳法,