第三章刚体力学基础.ppt

第三章 刚体力学基础,第一节 刚体运动的描述,一. 刚体,内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。,刚体是实际物体的一种理想的模型,用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。,自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6,物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目 有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。,二、刚体的自由度,三、 刚体运动的几种形式,1. 平动（平移） （n=3）,运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。,刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动,特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。,研究方法：用质心代表整个刚体的运动。可视为质点。,2.定轴转动（n=1）,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律,将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。,3.平面平行运动（n=3）,刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动,四、 刚体定轴转动的描述,角位置：,1. 定轴转动的角量描述,角位移：,角速度：,角加速度：,角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。,2. 角量和线量的关系,在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应的公式:,在质点作匀加速直线运动时，a =常数，有以下相应的公式:,3、匀变速转动的公式,刚体获得角加速度的原因？,第二节 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律,一、力对转轴的力矩,方向如图,方向如图,1、力在转动平面内,2、力不在转动平面内,穿过转轴Z的力和平行转轴Z的力对转轴Z的力矩为0。,再看一个模型力矩,当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。,？为什么,二. 定轴转动定律 转动惯量,质点系角动量定理:质点系所受外力矩之和等于系统总角动量的变化率(P85),对于定轴z轴转动刚体,上式同样成立,且M只沿z轴方向,故有:,如图所示，考虑以角速度 绕z轴转 动的一个刚体，其上任一质元 相对 于原点0的角动量为,Li在z轴上的分量为：,因此，定轴转动刚体的总角动量 对转动轴 z 轴的分量的大小为：,对定轴刚体， J为常量，,J ：称为刚体对于转轴的转动惯量,三. 转动惯量,连续体：,1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。,2. 转动惯量的计算,转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及质量相对于给定轴的分布有关。,注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。,在（SI）中，J 的单位：kgm2,四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算,1、对于转动惯量：,例6-3 求一质量为 m ，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。 （1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。 （2）轴通过棒的中心并与棒垂直；,解：,注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。,2、对于转动定律的应用,解题要点,例6-1、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 当棒处在下摆角时，重力矩为：,例6-4 质量为 m ，半径为 R 的细圆环和均匀薄圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。,解：,对圆环：,对圆盘：,解：分析受力：图示,质点A,质点B,例6-2、如图，斜面倾角为，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（视为圆盘）半径为R、质量为m。求物体运动中定滑轮两侧绳中的张力及B下落的加速度a（不计摩擦）,滑轮（刚体）,联系量,联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、,为什么此时T1 T2 ？,3、 平行轴定理与垂直轴定理,平行轴定理：,例：,垂直轴定理,例：,几种常见刚体的转动惯量,回顾：质点对O点的角动量,五 刚体定轴转动的角动量与角动量定理,1. 刚体对定轴的角动量,2. 刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒定律,由转动定律,2. 刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒现象举例,第三节 刚体的能量,刚体的内力不做功,力矩的功,一、刚体定轴转动的动能与动能定理,1刚体的转动动能,2. 刚体定轴转动的动能定理,二、刚体的重力势能,刚体定轴转动械能守恒定律,推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即,解 (1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：,解得,例题 匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度。,由此得：,(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：,由前,转动动能,平动动能,例6-8 A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,A轮的转动惯量J1=10.0kg.m2,开始时B轮静止,A轮以n1=600r.min-1的转速转动,然后使A与B连接,因而B轮的到加速而A轮减速,直到两轮的转速都等于n=200r.min-1为止.求(1)B轮的转动惯量;(2)在啮合过程中损失的机械能.,解:,(1)取两飞轮为系统,因轴向力不产生转动力矩；据系统的角动量守恒,有,则B轮的转动惯量,(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.,质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一),质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二),