第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理.ppt

第三章微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理,一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结,一、罗尔(Rolle)定理,例如,几何解释:,定理的证明,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1 验证罗尔定理对 在区间 上的正确性。 解 显然 在 上连续，在 上可导，且 又 ，取 ，有 。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(1)在闭区间a,b上连续；,(2)在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,设函数 满足,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,证:,定理,证,推论,证,例2,证 设,由介值定理,即为方程的小于2的正实根.,矛盾,证明方程 只有一个正实根,设,例3,证 设,例4,证,由上式得,例5 证明当 时，,证 令,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,上述例子告诉我们拉格朗日中值定 理的条件缺一不可.,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,习题3-1,习题3-1答案,