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江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生,第四章 数值积分与数值微分,4.3 Romberg算法,数值计算方法I,华长生制作,2,4.3 Romberg算法,综合前几节的内容,我们知道,梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为,1次,3次和5次,复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为,2阶、4阶和6阶,无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的,有没有办法改善梯形公式呢?,华长生制作,3,一、复合梯形公式的递推化,各节点为,复合梯形(Trapz)公式为,-(1),-(2),华长生制作,4,-(3),华长生制作,5,则由(1)(2)(3)式,有,华长生制作,6,因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式,(4)-,上式称为递推的梯形公式,递推梯形公式加上一个控制精度,即 可成为自动选取步长的复合梯形公式,具体的方法请同学们完成,思考,华长生制作,7,二、外推加速公式,由复合梯形公式的余项公式,可得,由(3)式,华长生制作,8,复合Simpson公式,-(5),-(6),华长生制作,9,因此由复合Simpson公式的余项,可得,即,当然,令,自己 证明,-(6),-(7),华长生制作,10,-(8),即,当然,同样由复合Cotes公式的余项,得,令,-(9),华长生制作,11,外推 加速 公式,以上整个过程称为Romberg算法,将 上 述 结 果 综 合 后,华长生制作,12,其中外推加速公式可简化为,-(9),Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍,Romberg算法求解步骤,Romberg算法的代 数精度为m的两倍,华长生制作,13,romberg.m,例:,前侧矩形公式 z1 = 0.99212545660563 z11 = 0.99212545660563 后侧矩形公式 z2 = 1.00783341987358 z22 = 1.00783341987358 梯形公式 z3 = 0.99997943823961 Simpson公式 z4 = 1.00000000201613 8阶simpson公式 z5 =1.00000000000000 自选步长梯形公式 z6 = 0.99999921563419 自选步长Simpson公式 z7 =1.00000051668471 Romberg公式 z8 = 0.99999999999802 Mote-Carlo算法 z9 = 0.99821071589516,-0.00787454339437 -0.00787454339437 0.00783341987358 0.00783341987358 -0.00002056176039 0.00000000201613 -0.00000000000000 -0.00000078436581 0.00000051668471 -0.00000000000198 -0.00178928410484,Jifenbijiao.m,积分法,积分值,绝对误差,华长生制作,14,如何构造Romberg算法,