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图与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis),图与网络的基本知识,最短路问题,树及最小树问题,最大流问题,最小费用最大流问题,哥尼斯堡七空桥,一笔画问题,一、 图与网络的基本知识 （一）、图与网络的基本概念,1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也可不带，前者叫弧，后者叫边）,一个图是由点集 和 中元素的无序对的一个集合 构成的二元组，记为G =(V，E)，其中 V 中的元素 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合；E 中的元素 叫做边，E 表示图 G 的边集合。,例,图1,2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作G = (V，E)，连接点的边记作vi , vj，或者vj , vi。,3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合，A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作(vi , vj)。,图2,4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。 5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。,6、一个无环，无多重边的图称为简单图，一个无环，有多重边的图称为多重图。,7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。 有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。,度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。,8、以点v为端点的边的个数称为点v 的度（次），记作 。,图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）,9、设 G1=（ V1 , E1 ），G2 =（ V2 ,E2 ）如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的子图；如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图或支撑子图。,在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ，其余的点称为中间点。对每一条弧 ，对应一个数 ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图称为网络。,10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,vn-1 , en ， vn，记作（ v0 ， v1 ， v2， v3 , , vn-1 ， vn ），,11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图为连通图，否则称为不连通图。,其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点 。若链中所含的边均不相同，则称此链为简单链；所含的点均不相同的链称为初等链 , 也称通路。,（二）、 图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 有权 ，构造矩阵 ，其中： 称矩阵A为网络G的权矩阵。,设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个 矩阵 ，其中： 称矩阵A为网络G的邻接矩阵。,例,权矩阵为：,邻接矩阵为：,二、 树及最小树问题 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。,1、一个连通的无圈的无向图叫做树。 树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。,树 的性质： （1）树必连通，但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n-1 条边。 （3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初等链）。 （4）树 连通，但去掉任一条边， 必变为不连通。 （5） 树 无回路（圈），但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个回路（圈）。,2、 设图 是图G=(V , E )的一支撑子图， 如果图 是一个树,那么称K 是G 的一个生成树（支撑树），或简称为图G 的树。图G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。,一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。,用破圈法求出下图的一个生成树。,（一）破圈法,（二）避圈法,在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2，再找一条与e1，e2不构成圈的边e3。一般设已有e1，e2，ek，找一条与e1，e2，ek中任何一些边不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为止。,某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已知长度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度最短。,v1,v2,v3,v4,v5,1,4,2,3,1,3,5,2,最短路的一般提法为：设 为连通图，图中各边 有权 （ 表示 之间没有边）， 为图中任意两点，求一条路 ，使它为从 到 的所有路中总权最短。即： 最小。,(一)、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。,三 、最短路问题,算法步骤： 1.给始点vs以P标号 ，这表示从vs到 vs的最短距离为0，其余节点均给T标号， 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改： 3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即： 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。,例一、 用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。,解 （1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,反向追踪得v1到v6的最短路为：,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,求从1到8的最短路径,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1, w1=0,min c12,c14,c16=min 0+2,0+1,0+3=min 2,1,3=1 X=1,4, p4=1,p4=1,p1=0,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,4,min c12,c16,c42,c47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2 X=1,2,4, p2=2,p1=0,p4=1,p2=2,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,min c13,c23,c25,c47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3 X=1,2,4,6, p6=3,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,6,min c23,c25,c47,c67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3 X=1,2,4,6,7, p7=3,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,p7=3,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,6,7,min c23,c25,c75,c78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6 X=1,2,4,5,6,7, p5=6,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,p7=3,p5=6,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,6,7,min c23,c53,c58,c78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8 X=1,2,3,4,5,6,7, p3=8,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,p7=3,p5=6,p3=8,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,3,4,6,7,min c38,c58,c78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10 X=1,2,3,4,5,6,7,8, p8=10,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,p7=3,p5=6,p3=8,p8=10,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,3,4,6,7,8,1到8的最短路径为1，4，7，5，8，长度为10。,p2=2,p4=1,p1=0,p6=3,p7=3,p5=6,p3=8,p8=10,求从V1 到 V8 的最短路线。,由此看到，此方法不仅求出了从V1 到 V8 的最短路长，同时也求出了从V1 到 任意一点 的最短路长。将从V1 到 任一点的最短路权标在图上，即可求出从V1 到 任一点的最短路线。本例中V1 到 V8 的最短路线是： v1 v2 v5 v6 v8,（二）、 逐次逼近法 算法的基本思路与步骤： 首先设任一点vi到任一点vj都有一条弧。 显然，从v1到vj的最短路是从v1出发，沿着这条路到某个点vi再沿弧(vi,vj)到vj。则v1到vi的这条路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。设P1j表示从v1到vj的最短路长，P1i表示从v1到vi的最短路长，则有下列方程： 开始时，令 即用v1到vj的直接距离做初始解。 从第二步起，使用递推公式： 求 ，当进行到第t步，若出现 则停止计算， 即为v1到各点的最短路长。,例二、,求图中v1到 各点的最短路,（0，0）,（ v3 ，-5）,（ v1 ，-2）,（ v3 ，-7）,（ v2 ，-3）,（ v4 ，-5）,（ v3 ，-1）,（ v6 ，6）,例三、求：5年内，哪些年初购置新设备，使5年内的总费用最小。 解：（1）分析：可行的购置方案（更新计划）是很多的， 如： 1） 每年购置一台新的，则对应的费用为： 11+11+12+12+13 +5+5+5+5+5 = 84 2 )第一年购置新的，一直用到第五年年底，则总费用为： 11+5+6+8+11+18 = 59 显然不同的方案对应不同的费用。,（2）方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图的最短路。 求解步骤： 1）画赋权有向图： 设 Vi 表示第i年初，(Vi ,Vj )表示第i 年初购买新设备用到第j年初（j-1年底），而Wi j 表示相应费用，则5年的一个更新计划相当于从V1 到V6的一条路。 2）求解 （标号法）,W12 =11+5=16 W13 =11+5+6=22 W14 =11+5+6+8=30 W15 =11+5+6+8+11=41 W16 =11+5+6+8+11+18=59,W23 =11+5=16 W24 =11+5+6=22 W25 =11+5+6+8=30 W26 =11+5+6+8+11=41,W45 =12+5=17 W46 =12+5+6=23 W56 =13+5=18,W34 =12+5=17 W35 =12+5+6=23 W36 =12+5+6+8=31,例四、 某工厂使用一种设备，这种设备在一定的年限内随着时间的推移逐渐损坏。所以工厂在每年年初都要决定设备是否更新。若购置设备，每年需支付购置费用；若继续使用旧设备，需要支付维修与运行费用，而且随着设备的老化会逐年增加。计划期（五年）内中每年的购置费、维修费与运行费如表所示，工厂要制定今后五年设备更新计划，问采用何种方案才能使包括购置费、维修费与运行费在内的总费用最小。,28,v1,v2,v3,v4,v5,v6,23,25,26,29,30,42,60,85,32,44,62,33,45,30,四、 最大流问题 （一）、 基本概念 1、设一个赋权有向图D=（V, E）,在V中指定一个发点vs和一个收点vt ,其它的点叫做中间点。对于D中的每一个弧（vi , vj）E ,都有一个非负数cij,叫做弧的容量。我们把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做 D=（V，E，C）。 网络D上的流，是指定义在弧集合E上的一个函数 其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，vj)上的流量。,2、称满足下列条件的流为可行流： （1）容量条件：对于每一个弧（vi ,vj）E 有 0 fij cij 。 （2）平衡条件： 对于发点vs，有 对于收点vt ，有 对于中间点，有,可行流中 fijcij 的弧叫做饱和弧，fijcij的弧叫做非饱和弧。fij0 的弧为非零流弧，fij0 的弧叫做零流弧。,图中 为零流弧，其余为非饱和弧。,3、容量网络G，若 为网络中从vs到vt的一条链，给 定向为从vs到vt， 上的弧凡与 方向相同的称为前向弧，凡与 方向相反的称为后向弧，其集合分别用 和 表示。 f 是一个可行流，如果满足： 则称 为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。,推论 可行流f 是最大流的充分必要条件是不存在从vs到vt 的关于f 的一条可增广链。,即 中的每一条弧都是非饱和弧,即 中的每一条弧都是非零流弧,是一个增广链,显然图中增广链不止一条,4、容量网络G =（V，E，C），vs为始点，vt为终点。如果把V分成两个非空集合 使 ，则所有始点属于S，而终点属于 的弧的集合，称为由S决定的截集,记作 。截集 中所有弧的容量之和，称为这个截集的容量，记为 。,容量为24,设 ，,则截集为,容量为20,（二）、 求最大流的标号法 标号过程： 1 给发点vs 标号（0，+）。 2 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 ，且 ，那么给vj 标号 ，其中： （2）如果边 ，且 ，那么给vj 标号 ，其中： 3重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进行下去，这时的可行流就是最大流。,调整过程 设 1令 2去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新标号。,求下图所示网络中的最大流，弧旁数为,最小截集,13 (11),9 (9),4 (0),5 (5),6(6),5 (5),5 (4),5 (4),4 (4),4 (3),9 (9),10 (7),截集1,截集2,最小截量为：9+6+5=20, （120 ）, （230 ）, （150 ）, （200 ）,寻找关于f 的最小费用增广链： 构造一个关于f 的赋权有向图L(f ) ，其顶点是原网络G的顶点，而将G中的每一条弧 ( vi, vj )变成两个相反方向的弧（vi， vj）和(vj , vi)，并且定义图中弧的权lij为： 1.当 ，令 2.当（vj，vi）为原来网络G中（vi， vj）的反向弧，令 在网络G中寻找关于f 的最小费用增广链等价于在L(f )中寻求从vs 到vt 的最短路。,步骤： （1）取零流为初始可行流 ，f (0) =0。 （2）一般地，如果在第k-1步得到最小费用流 f (k-1)，则构造图 L( f (k-1) )。 （3）在L( f (k-1) )中，寻求从vs到vt的最短路。若不存在最短路，则f (k-1)就是最小费用最大流；否则转(4)。 （4）如果存在最短路，则在可行流f (k1)的图中得到与此最短路相对应的增广链，在增广链上，对f (k1)进行调整，调整量为：,令,得到新可行流f (k) 。对f (k)重复上面步骤，返回（2）。,例8.11 求网络的最小费用最大流，弧旁权是（bij , cij）,第六节 中国邮递员问题,一、 欧拉回路与道路 定义8.18 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 定理8.7 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要条件是G中无奇点。 推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要条件是G有且仅有两个奇点。,二、 奇偶点图上作业法 （1）找出图G中的所有的奇顶点，把它们两两配成对，而每对奇点之间必有一条通路，把这条通路上的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的新连通图必无奇点。 （2）如果边e=（u,v）上的重复边多于一条，则可从重复边中去掉偶数条，使得其重复边至多为一条，图中的顶点仍全部都是偶顶点。 （3）检查图中的每一个圈，如果每一个圈的重复边的总长不大于该圈总长的一半，则已经求得最优方案。如果存在一个圈，重复边的总长大于该圈总长的一半时，则将这个圈中的重复边去掉，再将该圈中原来没有重复边的各边加上重复边，其它各圈的边不变，返回步骤（2）。,判定标准1: 在最优邮递路线上，图中的每一条边至多有一条重复边。 判定标准2 : 在最优邮递路线上，图中每一个圈的重复边总权小于或等于该圈总权的一半。,例8.12 求解下图所示网络的中国邮路问题，图中数字为该边的长。,l12+2 l23+2 l36+2 l89+2 l78+l69+l14+2 l47=51,