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论文开题报告论文开题报告 学 号_ _ _ _ 姓 名 _ _ _ 院 系_ 数理与信息工程学院 _ 专 业_ 应用数学 _ 研究方向_ 泛函分析 _ 导师姓名_ _ _ 拟定学位论文题目_ 解析函数空间上的分式 线性复合算子 _ 制表 2011年 05 月 03 日 与选题有关的国内外研究综述，选题的理论意义和实际意义 解析复合算子是解析函数论和算子理论的产物。复合算子的研究是利用经典解析函数论 中的方法和结论探讨现行算子理论中的经典问题，同时也利用算子理论作为工具研究数学其 他分支的问题，例如函数论、几何、数论以及迭代理论等。 近 30 年来，关于复合算子的研究引起了许多数学家的注意，大量非常深刻的结果不断 涌现。 复合算子涉及许多领域且在各种问题中自然地出现。 它们出现在乘法算子和更一般算子 的交换子的研究中，在动力系统理论中也起着重要作用，并且随着关于复合算子的专著的出 现（J.H.Shapiro;R.K.Singh 和 J.S.Manhas(1993),C.C.Cowen 和 B.D.Maccluer(1995),该领 域的研究正日趋深入。 设是定义在单位圆盘上的复解析函数空间，是到自身的解析映射，则可通过函数的复 合定义线性算子,称为导出的复合算子，称为的符号。将复合算子作为解析函数空间上的线性 算子进行研究是起始于上世纪六十年代的工作。他利用从属原理证明了为空间上的有界线性 算子。 1969 年，在他的博士论文中对在经典空间上的紧性问题进行了研究。 之后，解析函数空 间上的复合算子的研究便引起了广大数学工作者的注意。 1999 年，Zorboska 在空间上得出了单位圆盘上的共形自同构映射中，旋转是唯一的诱 导了本性正常的复合算子。随后他进一步得到了由单位圆周上没有不动点的分式线性自映射 诱导的复合算子不是非平凡本性正常的，同时，提出了是否存在复合算子是非平凡本性正常 的。 2002年，Paul S.Bourdon 等对Zorboska提出的问题给予了回答，得出了一个主要定理。 另外，还得出了非线性分式复合算子的本性正常性的一些结论。 先介绍几个相关的概念： 定义1 空间上的有界算子 T是本性正常的，若 是紧的。 定理2 若解析， , 定义3 若的分式线性自映射，若.则称 是抛物型的，若是在黎曼球面上唯一的不动点； 是双曲型的，若在黎曼球面上还有另外一个不动点。 定理4 在空间上，若且是抛物非自同构的，则是本性正常的。 定义5 空间上的有界算子 T是本性自伴的，若是紧的。 定理6 在空间上，若，则是非平凡本性自伴的充要条件是是抛物型的且平移数。 定理7 在空间上，若且是双曲非自同构的，则不是本性正常的。 定理8 在空间上，若，且在上没有不动点，则不是本性正常的。 定理 9 空间上，由的解析自映射诱导的复合算子是非平凡本性正常的充要条件是是抛 物型非自同构的。 定理10 在空间上，自同构诱导的本性正常的复合算子是正常的。 定理11，设 包含于的一个真子盘，子盘与在点内切； 包含点，； ； 则存在一个分式线性自映射，在点有相同的二阶边界值，使得紧的。 定义12 称解析自映射是本性分式线性的，若满足定理11。 定理13 设是的本性分式线性自映射，且为的Denjoy-Wolff点，若则是本性正常的。 研究内容、所要解决的主要问题及研究途径与方法(预期思路或技术路线) 在文献中已经得到了空间上的分式线性复合算子是本性正常的充要条件，并得到了一 些由本性分式线性自映射诱导的复合算子的本性正常性的一些结论。 本选题拟在此基础上，对以下两个问题进行一些探讨， 的所有的解析自映射中，抛物非自同构是否是唯一的诱导了上的非平凡本性正常的复合算 子？ 一般的加权空间上的由分式线性自映射诱导的复合算子的非平凡本性正常性。 研究步骤：先收集资料，然后阅读文献并体会其中的思想方法，找出其内在规律联系， 并期望对上述问题的研究能有所进展；最后，我将进一步收集与上述问题相关的论文资料， 查询已有的文献资料，关注国内外有关研究的最新进展，在导师的指导下开展上述三方面的 研究，争取早日完成硕士论文。 主要参考资料： C.C.Cowen,Linear fractional composition operators on ,Integral Eqns.Op.Th.11 ,151-160. C.C.Cowen,Composition operators on ,J.Operator Th.9(1983),77-106. MacClur B,Weir R.Essentially normal composition operators on Bergman spaces. Acta Sci Math(Szeged),70:799-817(2004). N.Zorboska,Closed range essentially normal composition operators are normal, Acta Sci Math(Szeged)65(1999)287-292. Rudin W.Function Theory in the Unit Ball of .New York:Springer-Verlag,1980. B.D.MacCluer,Components in the space of composition operators,Integral Equations Operator Theory 12(1989),725-738. Paul S.Bourdon,David Levi,Sivaram K.Narayan and Joel H.Shapiro,Which linear Fractional composition operators are essentially normal?(2002). J.H.Shapiro,The essential norm of a composition operator,Annal of Math.125(1987), 375-404. J.H.Shapiro and C.Sundberg,Isolation amongst the composition operator,pacific J.Math.145(1990),117-151. J.E.Littlewood,On inequalities in the theory of functions,Proc.London Math. Soc.23(1925),481-519. P.S.Bourdon and J.H.Shapiro,Cyclic Phenomena for Composition Operators,Memoirs Amer.Math.Soc. P.S.Bourdon, Components of linear fractional composition operators,preprint. 研究进度及具体时间安排 起止日期主要研究内容预期结果 2011.4-2011.6讨论研究上面的第一个问题得到相应结论 2011.7-2011.10讨论研究上面的第二个问题得到相应结论 2011.11-2011.12整理论文完成毕业论文 协助导师具体指导的人员配备情况及现有条件 本人一直参加数学研究所的讨论班，定期举行论文报告，徐宪民、严从荃和胡俊云教授都参 与指导。 课题经费预算 由于查阅资料、修改毕业论文及打印毕业论文等各项经费所需，拟需课题经费 1000元整。 专家对开题报告的评议 1、对选题依据、预期思路或技术路线的科学性、可行性、先进性及创新性的评价 2、存在的主要问题和改进措施 3、同意 建议修改或补充 不同意 开题报告 专家组长签名： 年 月 日 参加学位论文开题报告的专家名单 姓 名职 称学科、专业单 位
