2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：1.3.2 奇偶性 .docx

第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学习目标理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1x-3-2-10123f(x)=x2表2x-3-2-10123f(x)=|x|三、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题4:偶函数的图象有什么特征?问题5:函数f(x)=x2,x-1,2是偶函数吗?问题6:偶函数的定义域有什么特征?问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=1x的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1)(2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+1x;(4)f(x)=1x2.【例2】已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当x(-,0)时,f(x)=x-x4,则当x(0,+)时,f(x)=. 【例3】已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;(3)试比较f(-52)与f(74)的大小.五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x-3,1;(2)f(x)=x3-x2x-1;(3)f(x)=x2-4+4-x2;(4)f(x)=1+x2+x-11+x2+x+1.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x,求f(x).3.已知f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.参考答案问题2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).表1x-3-2-10123f(x)=x29410149表2x-3-2-10123f(x)=|x|3210123问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象关于y轴对称.问题5:函数f(x)=x2,x-1,2的图象关于y轴不对称;对定义域-1,2内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-,0)(0,+),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+1-x=-(x+1x)=-f(x),所以函数f(x)=x+1x是奇函数.(4)函数的定义域是(-,0)(0,+),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=1(-x2)=1x2=f(x),所以函数f(x)=1x2是偶函数.点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;确定f(-x)与f(x)的关系;作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.【例2】解析:当x(0,+)时,则-x<0.又当x(-,0)时,f(x)=x-x4,f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案:-x-x4点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.【例3】解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f-1×(-1)=f(-1)+f(-1),2f(-1)=0.f(-1)=0.f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).f(x)是偶函数.(2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1·x2x1)-f(x1)=f(x1)+f(x2x1)-f(x1)=f(x2x1).x2>x1>0,x2x1>1.f(x2x1)>0,即f(x2)-f(x1)>0.f(x2)>f(x1).f(x)在(0,+)上是增函数.(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-52)=f(52).由(2)知f(x)在(0,+)上是增函数,则f(52)>f(74).f(-52)>f(74).点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x-3,1既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为x|xR且x1,并不关于原点对称,所以函数f(x)=x3-x2x-1既不是奇函数又不是偶函数.(3)x2-40且4-x20,x=±2,即f(x)=0,其定义域是-2,2.f(2)=0,f(-2)=0,f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.f(-x)+f(x)=1+x2-x-11+x2-x+1+1+x2+x-11+x2+x+1=1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)=1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)=0,f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3(-x)=-x2+3x.综上所得,f(x)=x2+3x,x>0,0,x=0,-x2+3x,x<0.3.解:(1)f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).f(1)=0.令x=y=-1时,有f(-1)×(-1)=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).f(-1)=0.(2)是奇函数.f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),函数f(x)是(-,+)上的奇函数.