2020《创新方案》高考人教版数学（文）总复习练习：选修4-4 坐标系与参数方程 课时作业61 Word版含解析.pdf

课时作业 61 参数方程 1(2016·全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 Error!Error!( 为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin2. ( 4) 2 (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直 角坐标 解：(1)C1的普通方程为 y21. x2 3 C2的直角坐标方程为 xy40. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(cos ，sin )因为 C2是直3 线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值， d(). | 3cos sin 4| 2 2 | sin( 3)2| 当且仅当 2k (kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此 6 2 时 P 的直角坐标为. ( 3 2， 1 2) 2(2019·南昌一模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方 程为Error!Error!( 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin kcos k0(kR) (1)请写出曲线 C 的普通方程与直线 l 的一个参数方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，且点 M(1,0)为线段 AB 的一个 三等分点，求|AB|. 解：(1)由题意知，曲线 C 的普通方程为 1. x2 4 y2 3 直线 l 的直角坐标方程为 yk(x1)，其一个参数方程为Error!Error!(t 为参数) (2)联立(1)中直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程并化简得(3 sin2)t26tcos 90， 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， Error!Error! 不妨设 t10，t20， 设方程 t2cos24tsin 40 的两个根为 t1，t2， 则 t1t2，t1t2， 4sin cos2 4 cos2 |AB|t1t2|4，当且仅当 0 时， t 1t224t1t2 4 cos2 取等号 故当 0 时，|AB|取得最小值 4. 6(2019·广州调研)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 Error!Error!( 为参数)， 将曲线 C1经过伸缩变换Error!Error!后得到曲线 C2.在以原 点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos sin 100. (1)说明曲线 C2是哪一种曲线，并将曲线 C2的方程化为极坐标方 程； (2)已知点 M 是曲线 C2上的任意一点，求点 M 到直线 l 的距离的 最大值和最小值 解：(1)因为曲线 C1的参数方程为Error!Error!( 为参数)， 且Error!Error!所以曲线 C2的参数方程为Error!Error! 所以 C2的普通方程为 x2y24， 所以 C2为圆心在原点，半径为 2 的圆， 所以 C2的极坐标方程为 24， 即 2(R) (2)解法一 直线 l 的直角坐标方程为 xy100，设 M(2cos ， 2sin )( 为参数) 曲线 C2上的点 M 到直线 l 的距离 d|2cos 2sin 10| 2 . |2 2cos( 4)10| 2 当 cos1，即 2k (kZ)时，d 取得最小值，为 ( 4) 4 52. |2 210| 2 2 当 cos1，即 2k(kZ)时，d 取得最大值，为 ( 4) 3 4 25. |2 210| 2 2 解法二 直线 l 的直角坐标方程为 xy100. 因为圆C2的半径r2， 且圆心到直线l的距离d5 |0010| 2 2 2， 所以直线 l 与圆 C2相离 所以圆 C2上的点 M 到直线 l 的距离的最大值为 dr52，2 最小值为 dr52.2 7(2019·洛阳统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 Error!Error!(t 为参数，mR)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2(0) 3 32cos2 (1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知点P是曲线C2上一点， 若点P到曲线C1的最小距离为2，2 求 m 的值 解 ： (1)由曲线C1的参数方程消去参数t， 可得C1的普通方程为xy m0. 由曲线 C2的极坐标方程得 3222cos23，0， 曲线 C2的直角坐标方程为 y21(0y1) x2 3 (2)设曲线 C2上任意一点 P 的坐标为 (cos ，sin )，0，3 则点 P 到曲线 C1的距离 d| 3cos sin m| 2 .| 2cos( 6)m| 2 0，cos，2cos2， ( 6) 1， 3 2 ( 6) 3 由点 P 到曲线 C1的最小距离为 2得，2 若 m0，则 m24，即 m6. 若 m20，3 当|m|m2|，即 m时，3 2 3 2 m24，即 m2，不合题意，舍去； 当|m|m2|，即 m时，3 2 3 2 m4，即 m4，不合题意，舍去33 综上，m4或 m6.3 8(2019·成都诊断)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 Error!Error!( 为参数)， 直线 l 的参数方程为Error!Error!(t 为参数) 在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A，且点 A 的极坐标为(2，)，其中 .3 ( 2，) (1)求 的值； (2)若射线 OA 与直线 l 相交于点 B，求|AB|的值 解：(1)由题意知，曲线 C 的普通方程为 x2(y2)24， xcos ，ysin ， 曲线 C 的极坐标方程为 (cos )2(sin 2)24， 即 4sin . 由 2，得 sin ，3 3 2 ，. ( 2，) 2 3 (2)易知直线 l 的普通方程为 xy40，33 直线 l 的极坐标方程为 cos sin 40.33 又射线 OA 的极坐标方程为 (0)， 2 3 联立Error!Error! 解得 4 . 3 点 B 的极坐标为， ( 4 3，2 3 ) |AB|BA|422.333