2020届高考数学理一轮（新课标通用）考点测试：53　双曲线 Word版含解析.pdf

考点测试 53 双曲线 一、基础小题 1已知双曲线 C：1(a0，b0)的渐近线方程为 y± x，则双曲线 C y2 a2 x2 b2 1 2 的离心率为( ) A B C D 5 2 5 6 2 6 答案 B 解析 由题意可得 ，则离心率 e ，故选 B a b 1 2 c a 1b a 2 5 2已知双曲线1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜 x2 m216 y2 4m3 率为( ) A± B± C± D± 5 4 4 5 5 3 3 5 答案 D 解析 由 m21652， 解得 m3(m3 舍去) 所以 a5， b3， 从而± ± b a ，故选 D 3 5 3 已知平面内两定点 A(5， 0)， B(5， 0)， 动点 M 满足|MA|MB|6， 则点 M 的轨迹方程是( ) A 1 B 1(x4) x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 C 1 D 1(x3) x2 9 y2 16 x2 9 y2 16 答案 D 解析 由双曲线的定义知， 点M的轨迹是双曲线的右支， 故排除A， C； 又c5， a3，b2c2a216 焦点在 x 轴上，轨迹方程为 1(x3) x2 9 y2 16 故选 D 4双曲线 y21 的焦点到渐近线的距离为( ) x2 m A B C1 D23 1 2 答案 C 解析 焦点 F(， 0)到渐近线 x±y0 的距离 d1， 故选 Cm1m | m1 ± 0| 1m2 5已知双曲线 C：1(a0，b0)的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近 x2 a2 y2 b2 线上，则 C 的方程为( ) A 1 B 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C1 D1 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 答案 A 解析 1 的焦距为 10， x2 a2 y2 b2 c5a2b2 又双曲线渐近线方程为 y± x，且 P(2，1)在渐近线上， b a 1，即 a2b 2b a 由解得 a2，b，55 则 C 的方程为 1故选 A x2 20 y2 5 6已知双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与 x2 a2 y2 b2 双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中 点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则 a( ) A3 B4 C5 D6 答案 A 解析 如图，设 MN 的中点为 C，则由对称性知 F1，F2分别为线段 AM，BM 的中点，所以|CF1| |AN|，|CF2| |BN|由双曲线的定义，知|CF1|CF2|2a 1 2 1 2 1 2 (|AN|BN|)6，所以 a3，故选 A 7已知双曲线 C：1(a0，b0)的离心率 e2，且它的一个顶点到相 x2 a2 y2 b2 应焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为_ 答案 x2 1 y2 3 解析 由题意得Error!解得Error!则 b，故所求方程为 x2 13 y2 3 8 设 F1， F2分别为双曲线1 的左、 右焦点， 点 P 在双曲线上， 若点 P x2 16 y2 20 到焦点 F1的距离等于 9，则点 P 到焦点 F2的距离为_ 答案 17 解析 解法一：实轴长 2a8，半焦距 c6， |PF1|PF2|8 |PF1|9，|PF2|1 或|PF2|17 又|PF2|的最小值为 ca642， |PF2|17 解法二：由题知，若 P 在右支上， 则|PF1|28109，P 在左支上 |PF2|PF1|2a8，|PF2|9817 二、高考小题 9(2018·全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方 x2 a2 y2 b2 3 程为( ) Ay±x By±x23 Cy±x Dy±x 2 2 3 2 答案 A 解析 e ，e21312， 因为该双曲线 c a 3 b2 a2 c2a2 a2 b a 2 的渐近线方程为 y± x，所以该双曲线的渐近线方程为 y±x，故选 A b a 2 10(2018·全国卷)已知双曲线 C： y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右 x2 3 焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角 形，则|MN|( ) A B3 C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由题意分析知，FON30° 所以MON60°，又因为OMN 是直角三角形，不妨取NMO90°，则 ONF30°，于是 FNOF2，FM OF1，所以|MN|3故选 B 1 2 11 (2018·全国卷)设F1， F2是双曲线C：1(a0， b0)的左、 右焦点， O x2 a2 y2 b2 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P若|PF1|OP|，则 C6 的离心率为( ) A B2 C D532 答案 C 解析 由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a 在 RtPOF2中，cosPF2O ， |PF2| |OF2| b c 在PF1F2中， cosPF2O ， |PF2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| b c c23a2，e故选 C b24c2 6a 2 2b·2c b c 3 12(2018·天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点 x2 a2 y2 b2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线 的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为( ) A 1 B 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C 1 D 1 x2 3 y2 9 x2 9 y2 3 答案 C 解析 双曲线1(a0， b0)的离心率为 2， e214， 3， x2 a2 y2 b2 b2 a2 b2 a2 即 b23a2，c2a2b24a2，由题意可设 A(2a，3a)，B(2a，3a)，3， b2 a2 渐近线方程为 y±x，则点 A 与点 B 到直线xy0 的距离分别为 d133 a，d2a，又d1d26，a |2 3a3a| 2 2 33 2 |2 3a3a| 2 2 33 2 2 33 2 a6，解得 a，b29双曲线的方程为 1，故选 C 2 33 2 3 x2 3 y2 9 13 (2018·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线1(a0， b0) x2 a2 y2 b2 的右焦点 F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_ 3 2 答案 2 解析 双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，则 F(c，0)到这条渐近线的距 离为c， |bc| b2a2 3 2 bc，b2 c2，又 b2c2a2，c24a2， 3 2 3 4 e 2 c a 14(2017·全国卷)已知双曲线 C：1(a0，b0)的右顶点为 A，以 A x2 a2 y2 b2 为圆心， b为半径作圆A， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M， N两点 若MAN 60°，则 C 的离心率为_ 答案 2 3 3 解析 如图，由题意知点 A(a，0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y x， b a 即 bxay0， 点 A 到 l 的距离 d ab a2b2 又MAN60°， |MA|NA|b， MAN 为等边三角形， d|MA|b， 3 2 3 2 即b， ab a2b2 3 2 a23b2，e c a a2b2 a2 2 3 3 三、模拟小题 15 (2018·河北黄冈质检)过双曲线1(a0， b0)的右焦点F作圆x2y2 x2 a2 y2 b2 a2的切线 FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P，若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离 心率为( ) A B C2 D235 答案 A 解析 连接 OM 由题意知 OMPF， 且|FM|PM|， |OP|OF|， OFP 45°，|OM|OF|·sin45°，即 ac·，e 故选 A 2 2 c a 2 16(2018·河南洛阳尖子生联考)设 F1，F2分别为双曲线 1 的左、右焦 x2 9 y2 16 点， 过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点P， T为切点， M为线段F1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 D 解析 连接 PF2，OT，则有|MO| |PF2| (|PF1|2a) (|PF1|6) |PF1| 1 2 1 2 1 2 1 2 3， |MT| |PF1|F1T| |PF1| |PF1|4， 于是有|MO|MT| |PF1|3 1 2 1 2 c232 1 2 1 2 |PF1|41，故选 D 1 2 17 (2018·哈尔滨调研)已知双曲线 C 的右焦点 F 与抛物线 y28x 的焦点相同， 若以点 F 为圆心，为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为2 ( ) A x21 B y21 y2 3 x2 3 C 1 D 1 y2 2 x2 2 x2 2 y2 2 答案 D 解析 设双曲线 C 的方程为1(a0， b0)， 而抛物线 y28x 的焦点为(2， x2 a2 y2 b2 0)，即 F(2，0)，4a2b2又圆 F： (x2)2y22 与双曲线 C 的渐近线 y± x b a 相切， 由双曲线的对称性可知圆心 F 到双曲线的渐近线的距离为， a2 2b b2a2 2 b22，故双曲线 C 的方程为 1故选 D x2 2 y2 2 18(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线 1 右焦点为 F，P 为双曲线 x2 4 y2 2 左支上一点，点 A(0，)，则APF 周长的最小值为( )2 A4 B4(1)22 C2() D32662 答案 B 解析 由题意知 F(，0)，设左焦点为 F0，则 F0(，0)，由题意可知APF66 的周长l为|PA|PF|AF|， 而|PF|2a|PF0|， l|PA|PF0|2a|AF|AF0| |AF|2a 2×2444( 0 6 2 20 2 60 20 22 22 1)，当且仅当 A，F0，P 三点共线时取得“” ，故选 B 19 (2018·河南适应性测试)已知 F1， F2分别是双曲线1(a0， b0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 ，则 6 双曲线的渐近线方程为( ) Ay±2x By± x 1 2 Cy±x Dy±x 2 2 2 答案 D 解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点， 则|PF1|PF2|， 由双曲线的定义得|PF1| |PF2|2a， 又|PF1|PF2|6a， 所以|PF1|4a， |PF2|2a 又因为Error!所以PF1F2 为最小内角，故PF1F2 由余弦定理，可得，c23a2，b2c2a2 6 4a2 2c 2 2a 2 2·4a·2c 3 2 2a2 ，所以双曲线的渐近线方程为 y±x，故选 D b a 22 20(2018·山西太原五中月考)已知 F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点， 过 F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A， 与右支交于点 B， 若|AF1|2a， F1AF2，则( ) 2 3 S AF1F2 S ABF2 A1 B C D 1 2 1 3 2 3 答案 B 解析 如图所示， 由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a 又|AF1|2a， 所以|AF2| 4a， 因为F1AF2， 所以 SAF1F2 |AF1|·|AF2|·sinF1AF2 ×2a×4a× 2 3 1 2 1 2 3 2 2a2设|BF2|m，由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又3 知|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|又知BAF2 ，所以BAF2为等边三角形， 3 边长为 4a， 所以 SABF2|AB|2×(4a)24a2， 所以 3 4 3 4 3 S AF1F2 S ABF2 2 3a2 4 3a2 ，故选 B 1 2 21 (2018·广东六校联考)已知点 F 为双曲线 E：1(a0， b0)的右焦点， x2 a2 y2 b2 直线 ykx(k0)与 E 交于不同象限内的 M，N 两点，若 MFNF，设MNF， 且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) 12 6 A， B2，12263 C2， D，12623 答案 D 解析 如图，设左焦点为 F，连接 MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2， 则|NF|MF|r2，由双曲线定义可知 r2r12a ，点 M 与点 N 关于原点 对称， 且MFNF， |OM|ON|OF|c， r r 4c2 ， 由得r1r22(c2 2 12 2 a2)， 又知 SMNF2SMOF r1r22· c2·sin2， c2a2c2·sin2， e2， 1 2 1 2 1 1sin2 又， 12 6 sin2 ， ，e22，(1)2又 e1，e，1， 1 2 3 2 1 1sin2 323 故选 D 22 (2018·河北名校名师俱乐部二调)已知 F1， F2分别是双曲线 x21(b0) y2 b2 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2 且F1AF245°，延 长 AF2交双曲线的右支于点 B，则F1AB 的面积等于_ 答案 4 解析 由题意知a1， 由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2， |BF1|BF2|2a 2， |AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|， |BA|BF1|，BAF1为等腰三角形， F1AF245°， ABF190°， BAF1为等腰直角三角形 |BA|BF1| |AF1|×42SF1AB |BA|·|BF1| ×2×24 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2019·河北武邑中学月考)已知mR，直线 l： yxm 与双曲线 C： x2 2 1(b0)恒有公共点 y2 b2 (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)若直线 l 过双曲线 C 的右焦点 F，与双曲线交于 P，Q 两点，并且满足FP ，求双曲线 C 的方程 1 5FQ 解 (1)联立Error!消去 y，整理得(b22)x24mx2(m2b2)0 当b22， m0时， 易知直线l是双曲线C的一条渐近线， 不满足题意， 故b22， 易得 e2 当 b22 时， 由题意知 16m28(b22)(m2b2)0， 即 b22m2， 故 b22， 则 e22，e c2 a2 a2b2 a2 2b2 2 2 综上可知，e 的取值范围为(，)2 (2)由题意知 F(c，0)，直线 l：yxc，与双曲线 C 的方程联立，得Error!消 去 x，化简得(b22)y22cb2yb2c22b20， 当 b22 时，易知直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线，与双曲线 C 只有一 个交点，不满足题意，故 b22 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 即Error! 因为，所以 y1 y2， FP 1 5FQ 1 5 由可得 y1， y2， 代入整理得 5c2b29(b22)(c22)， cb2 3b2 2 5cb2 3b2 2 又 c2b22，所以 b27 所以双曲线 C 的方程为 1 x2 2 y2 7 2(2018·惠州月考)已知双曲线 C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程 x2 a2 y2 b2 为 yx，右焦点 F 到直线 x的距离为 3 a2 c 3 2 (1)求双曲线 C 的方程； (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B，D 两点， 已知 A(1，0)，若·1，证明：过 A，B，D 三点的圆与 x 轴相切DF BF 解 (1)依题意有 ，c ， b a 3 a2 c 3 2 a2b2c2，c2a，a1，c2，b23， 双曲线 C 的方程为 x2 1 y2 3 (2)证明：设直线 l 的方程为 yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD 的中点为 M， 由Error!得 2x22mxm230， x1x2m，x1x2， m23 2 又·1，DF BF 即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1， m0(舍)或 m2， x1x22，x1x2 ，M 点的横坐标为1， 7 2 x1x2 2 ·(1x1)(1x2)(x12)(x22)DA BA 52x1x2x1x25720， ADAB， 过 A，B，D 三点的圆以点 M 为圆心，BD 为直径， 点 M 的横坐标为 1，MAx 轴， |MA| |BD|， 1 2 过 A，B，D 三点的圆与 x 轴相切 3 (2019·山西太原一中月考)已知直线 l： yx2 与双曲线 C：1(a0， x2 a2 y2 b2 b0)相交于 B，D 两点，且 BD 的中点为 M(1，3) (1)求双曲线 C 的离心率； (2)设双曲线 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|BF|·|DF|17，试判断ABD 是 否为直角三角形，并说明理由 解 (1)设 B(x1，y1)，D(x2，y2) 把 yx2 代入1， x2 a2 y2 b2 并整理得(b2a2)x24a2x4a2a2b20， 则 x1x2，x1x2 4a2 b2a2 4a2a2b2 b2a2 由 M(1，3)为 BD 的中点，得1， x1x2 2 2a2 b2a2 即 b23a2，故 c2a，a2b2 所以双曲线 C 的离心率 e 2 c a (2)由(1)得 C 的方程为1， x2 a2 y2 3a2 A(a，0)，F(2a，0)，x1x22，x1x20，b0)上 x2 a2 y2 b2 一点，M，N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为 1 5 (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标 原点，C 为双曲线上一点，满足，求 的值OC OA OB 解 (1)由点 P(x0，y0)(x0±a)在双曲线1 上，有1 x2 a2 y2 b2 x2 0 a2 y2 0 b2 由题意有· ， y0 x0a y0 x0a 1 5 可得 a25b2，c2a2b26b2，e c a 30 5 (2)联立Error!得 4x210cx35b20 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 设(x3，y3)，即Error!OC OC OA OB 又 C 为双曲线上一点，即 x 5y 5b2，有 2 32 3 (x1x2)25(y1y2)25b2 化简得 2(x 5y )(x 5y )2(x1x25y1y2)5b2 2 12 12 22 2 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 所以 x 5y 5b2，x 5y 5b2 2 12 12 22 2 由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c2 10b2， 式可化为 240，解得 0 或 4