2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第三章 第15讲　导数的概念及运算 Word版含解析.pdf

第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用 【p37】知识体系 第 15 讲 导数的概念及运算 夯实基础 【p37】 【学习目标】 1了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义 2能根据导数定义和基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导 数 【基础检测】 1已知函数 yf(x)在 x1 处的切线与直线 xy30 垂直，则 f(1)( ) A2 B0 C1 D1 【解析】由题可知：函数 yf(x)在 x1 处的切线的斜率为 f(1)，直线 xy30 的 斜率为1， 故f(1)1，得 f(1)1，故选 C. 【答案】C 2函数 f(x)ln x 过原点的切线的斜率为( ) A. B1 Ce De2 1 e e 【解析】设切点坐标为(a，ln a)， yln x，y ， 1 x 切线的斜率是 ， 1 a 切线的方程为 yln a (xa)， 1 a 将(0，0)代入可得 ln a1，ae， 切线的斜率是 . 1 a 1 e e 故选 A. 【答案】A 3曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_ 【解析】y5ex， 又点(0，2)在曲线上， 所以 y|x05， 切线方程为 y(2)5(x0)， 即 y5x20. 【答案】y5x20 4直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1，3)，则 b 的值为_ 【解析】 由切点可知k13， 1ab3.对曲线方程求导可得y3x2a， 可知3ak， 解方程组可得 b3. 【答案】3 【知识要点】 1导数的概念 (1)函数 yf(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率： lim lim y x f（x0x）f（x0） x 为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)lim lim _ y x _. f（x0x）f（x0） x (2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点_P(x0，y0)_处的_切线 的斜率_(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数) 相应地， 切线方程为_yy0f(x0)(x x0)_ (3)函数 f(x)的导函数 称函数 f(x)lim 为 f(x)的导函数 f（xx）f（x） x 2基本初等函数的导数公式 (xn)_nxn1_，(sin x)_cos_x_， (cos x)_sin_x_，(ax)_axln_a_， (ex)_ex_，(logax)_，(ln x) . 1 xln a 1 x 3导数的运算法则 (1)f(x)±g(x)_f(x)±g(x)_； (2)f(x)·g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_； (3)(g(x)0) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 典 例 剖 析 【p38】 考点 1 导数的计算 求下列函数的导数：例1 (1)y5x24x1； (2)y(2x21)(3x1)； (3)y(x0)； x e ex x1 (4)y. c co os s 2 2x x s si in n x xc co os s x 【解析】(1)y10x4； (2)y4x·(3x1)(2x21)·318x24x3； (3)y； x（e ex x1）x（e ex x1） （e ex x1）2 2 （1x）e ex x1 （e ex x1）2 2 (4)y(cos xsin x) ( c co os s2 2x xs si in n2 2x x s si in n x xc co os s x x) sin xcos x. 【小结】函数求导的基本步骤： 1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导； 2准确地把函数分割为能用求导公式的函数的和、差、积、商； 3再利用运算法则求导数并整理结果 考点 2 导数的几何意义 (1)曲线 yex在点 A 处的切线与直线 xy30 平行，则点 A 的坐标为( )例2 A(1，e1 ) B(0，1) C(1，e) D(0，2) 【解析】设 A(x0，ex0)，yex，所以切线斜率为 ex01，x00，所以 A(0，1)故选 B. 【答案】B (2)曲线 yx(3ln x1)在第(1，1)处的切线方程为_ 【解析】对曲线求导可得， yf(x)3ln x1x· 3ln x4， 3 x 故 f(1)4， 则切线方程为 y14(x1)， 整理得 y4x3. 【答案】y4x3 【小结】曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0) 考点 3 导数运算的应用 (1)已知函数 fexln x，则函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的例3(x)(1，f f(1) 面积为_ 【解析】由题，x，又 fex ，(0，)(x) 1 x 则切线的斜率 kfe1，(1) 又点在曲线上，则 fe，切点的坐标为.(1，f f(1 1)(1)(1，e e) 可得切线的方程为 ye，(e e1)(x1) 当 x0 时， y1，当 y0 时，x， 1 1e e 切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ××1××. 1 2 | 1 1e e| 1 2e e2 【答案】 1 2e e2 (2)已知 M，N 分别是曲线 yex与直线 yex1 上的点，则线段 MN 的最小值为 _ 【解析】设曲线 yex在某点处的切线为 l，当切线 l 与直线 yex1 平行时，这两条平 行直线间的距离就是所求的最小值 因为切线 l 与直线 yex1 平行，所以切线 l 的斜率为 e. 设切点为 M(a，b)， 又曲线 yex在点 M(a，b)处的切线的斜率为 y|xaea， 所以 eae，得 a1，所以切点 M 的坐标为(1，e)， 故切线 l 的方程为 yee(x1)，即 exy0. 又直线 yex1，即 exy10， 所以 d，即线段 MN 的最小值为. 1 e e2 21 e e2 21 e e2 21 e e2 21 e e2 21 【答案】 e e2 21 e e2 21 【能力提升】 已知函数 f(x)ln x(aR)例4 ax x1 (1)若函数 f(x)在区间(0，4)上单调递增，求 a 的取值范围； (2)若函数 yf(x)的图象与直线 y2x 相切，求 a 的值 【解析】(1)f(x) ， 1 x a（x1）ax （x1）2 （x1）2ax x（x1）2 函数 f(x)在区间(0，4)上单调递增， f(x)0 在(0，4)上恒成立， (x1)2ax0， 即 a在(0，4)上恒成立， x22x1 x x 2，取等号条件为当且仅当 x1， 1 x a4. (2)设切点为(x0，y0)， 则 y02x0，f(x0)2，y0ln x0， ax0 x01 2， 1 x0 a （x 01）2 且 2x0ln x0， ax0 x01 由得 a(x01)2，代入得 (2 1 x0) 2x0ln x0(2x01)(x01)， 即 ln x02x x010. 2 0 令 F(x)ln x2x2x1， 则 F(x) 4x1， 1 x 4x2x1 x 方程 4x2x10 的 150 恒成立 F(x)在(0，)上恒为正值， F(x)在(0，)上单调递增， F(1)0，x01，代入式得 a4. 【小结】xx0处的导数值就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键 方 法 总 结 【p38】 1掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 2导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处 的切线”意义完全不一样，前者点 P 不一定是切点，而后者点 P 一定是切点，且在曲线上 走 进 高 考 【p38】 1(2018·天津)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_ 【解析】由题意得 f(x)exln xex· ，则 f(1)e. 1 x 【答案】e 2 (2018·全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数， 则曲线 yf(x)在点(0， 0) 处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 【解析】 因为f(x)为奇函数， 所以f(x)f(x)， 由此可得a1， 故f(x)x3x， f(x)3x2 1，f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx. 【答案】D