2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第三章 第17讲　导数与函数的极值、最值 Word版含解析.pdf

第 17 讲 导数与函数的极值、最值 夯实基础 【p41】 【学习目标】 会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值 【基础检测】 1下列说法正确的是( ) A函数的极大值就是函数的最大值 B函数的极小值就是函数的最小值 C函数的最值一定是极值 D闭区间上的连续函数一定存在最值 【解析】结合本题构造一个具体函数，理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念 如图所示， 函数 yf(x)在 B、 D 处分别存在极值， 其中 B 是极大值点， 但不是最大值点， D 是极小值点，但不是最小值点 ； C 是最值点，但不是极值点闭区间上的连续函数一定存在最 值 【答案】D 2下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) Ayx3 Byln(x) Cyxex Dyx2 x 【解析】A 项，y3x20，在定义域上单调递增，没有极值； B 项，yln(x)的定义域为(，0)，显然不是奇函数； C 项，设 f(x)yxex，则 f(x)xexf(x)，不是奇函数； D 项，设 f(x)yx ，则 f(x)x f(x)，故为奇函数， 2 x 2 x 又 y1，当 x±时，y0， 2 x2 2 2 原函数在区间(，)上递增，在区间(，0)上递减，22 所以点(，2)是一个极大值点，22 同理，点(，2)是极小值点22 故 D 项正确 【答案】D 3函数 f(x) x2ln x 的最小值为( ) 1 2 A. B1 C0 D不存在 1 2 【解析】函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)x ，令 x 0 得 x1， 1 x 1 x 当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上递减； 当 x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上递增， 所以当 x1 时，f(x)取得最小值 f(1) . 1 2 【答案】A 4已知 x0 是函数 f(x)(x2a)(x2a2x2a3)的极小值点，则实数 a 的取值范围是 _ 【解析】因为 f(x)x3(a22a)x24a4， 所以令 f(x)3x22(a22a)x3x0， x 2（a2 22a） 3 可得函数 f(x)x3(a22a)x24a4的两个极值点分别为 x0，x， 2（a2 22a） 3 由题意0，即 a22a0，解之得 a2. 2（a2 22a） 3 【答案】a2 或 a0，f(x)在 R 上单调递增， 所以函数 f(x)无极值 当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln a. 当 x(，ln a)时，f(x)0. 所以 f(x)在区间(，ln a)上单调递减， 在区间(ln a，)上单调递增， 故 f(x)在 xln a 处取得极小值， 且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值 【小结】含参函数的极值的讨论步骤： (1)求函数的定义域； (2)求导函数； (3)以导函数的零点存在性进行讨论； (4)当导数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系； (5)画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号； (6)由上一步的草图，列出 f(x)，f(x)随 x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； (7)综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，从而可得极值 考点 2 利用导数研究函数的最值 已知函数 f(x)，x1，)例2 x2 22xa x (1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值； 1 2 (2)若对于任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 【解析】(1)当 a 时，f(x)x2，x1，) 1 2 x2 22xa x 1 2x 由 f(x)10，x1，) 1 2x2 2 2x2 21 2x2 2 函数 f(x)是增函数 当 x1 时，f(x)的最小值为 . 7 2 (2)对任意 x1，)，f(x)0 恒成立， 即0 对任意 x1，)恒成立 x2 22xa x x22xa0 对任意 x1，)恒成立 设 g(x)x22xa，则 g(x)2x2， 当 x1，)时，g(x)0，函数 g(x)是增函数 当 x1 时，g(x)取得最小值 3a， 由题意得 3a0，a3. 【小结】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并 通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 考点 3 函数的极值与最值的综合应用 已知函数 f(x)ax 3ln x，其中 a 为常数例3 2 x (1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时， 求函数f(x)在上的最小值 ； ( 2 3，f f( 2 2 3 3) 3 2，3 3 (2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围 【解析】(1)f(x)a ， 2 x2 2 3 x fa1， ( 2 3) 故 f(x)x 3ln x，则 f(x). 2 x （x1）（x2） x2 2 由 f(x)0 得 x1 或 x2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 3 2 ( 3 2，2 2) 2 (2，3) 3 f(x)0 f(x) 13ln 2 从而在上，f(x)有最小值， 3 2，3 3 且最小值为 f(2)13ln 2. (2)f(x)a (x0)， 2 x2 2 3 x ax2 23x2 x2 2 由题设可得方程 ax23x20 有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为 x1，x2，并令 h(x)ax23x2， 则或解得 0a . 98a0， x x1 1x2 23 a0， x x1 1x x2 22 a0 ) 98a0， 3 2a 0， h h（0）0， ) 9 8 故所求 a 的取值范围为. (0， 9 9 8 8) 【小结】求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值 3 步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 【能力提升】 已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax2.例4 (1)求函数 f(x)在t，t2(t0)上的最小值； (2)若函数 yf(x)g(x)有两个不同的极值点 x1，x2(x1x2)且 x2x1ln 2，求实数 a 的取 值范围 【解析】(1)由题意 f(x)ln x10，得 x . 1 e e 当 0G(x)minG ( 1 2) ln 2 时，x1，x2存在，且 x2x1的值随 a 的增大而增大 而当 x2x1ln 2 时， 由题意得l ln n x x 1 12x1 1a10， l ln n x x2 22x2 2a10.) 两式相减可得 ln2(x2x1)2ln 2，得 x24x1， x2 2 x x1 1 代入 x2x1ln 2 得 x24x1 ln 2， 4 3 此时实数 a ln 2ln1， 2 3 ( l ln n 2 2 3 3) 所以实数 a 的取值范围为 a ln 2ln1. 2 3 ( l ln n 2 2 3 3) 方 法 总 结 【p42】 1求函数的极值可分为以下几步： 求出可疑点，即 f(x)0 的解 x0与不可导的点； 用求极值的方法确定极值； 计算求值 2函数的最值 连续函数 f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值； 最值的求法：先求 f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一 个为最大值，最小的一个为最小值 3极值与最值的区别和联系 函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表 示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较； 函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值； 如果连续函数在区间a， b内只有一个极值(单峰函数)， 则极大值即是a， b上的最大值， 极小值即是a，b上的最小值 走 进 高 考 【p42】 1(2018·北京)设函数 f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 0，求 a； (2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解析】(1)因为 f(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以 f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2， 由题设知 f(2)0，即(2a1)e20，解得 a . 1 2 (2)方法一：由(1)得 f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex. 若 a1，则当 x时，f(x)0. 所以 f(x)在 x1 处取得极小值 若 a1，则当 x(0，1)时，ax1x10. 所以 1 不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是(1，) 方法二：f(x)(ax1)(x1)ex. 当 a0 时，令 f(x)0 得 x1. f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x(，1)1(1，) f(x)0 f(x) 极大值 f(x)在 x1 处取得极大值，不合题意 当 a0 时，令 f(x)0 得 x1 ，x21. 1 a 当 x1x2，即 a1 时，f(x)(x1)2ex0， f(x)在 R 上单调递增， f(x)的无极值，不合题意 当 x1x2，即 01 时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x (， 1 a) 1 a ( 1 a，1) 1(1，) f(x)00 f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x1 处取得极小值，即 a1 满足题意 当 a0 时，令 f(x)0 得 x1 ，x21. 1 a f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x (， 1 a) 1 a ( 1 a，1) 1(1，) f(x)00 f(x) 极小值 极大值 f(x)在 x1 处取得极大值，不合题意 综上所述，a 的取值范围为(1，)