2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第三章 第18讲　导数与函数的综合问题 Word版含解析.pdf

第 18 讲 导数与函数的综合问题 夯实基础 【p43】 【学习目标】 掌握利用导数求解与不等式和方程有关的技巧和方法，会利用导数求解实际生活中的优 化问题，提高分析问题和解决问题的能力 【基础检测】 1已知定义在 R 上的函数 f的图象如图所示，则 x·f0 的解集为( )(x)(x) A. B.(，0)(1，2)(1，2) C. D. (，1)(，1)(2，) 【解析】不等式 x·f(x)0 等价为当 x0 时，f(x)0，即 x0 时，函数递增，此时 10， b0， 且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值， 则 ab 的最大值等于( ) A3 B6 C9 D2 【解析】f(x)12x22ax2b，又因为在 x1 处有极值， f(1)0，ab6，a0，b0，ab9， ( ab 2) 2 当且仅当 ab3 时取等号所以 ab 的最大值等于 9. 【答案】C 3若 a ，则方程 ln xax0 的实根的个数为( ) 1 e A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个 【解析】 由于方程ln xax0等价于a.设f(x).f(x) ln x x ln x x 1 x·xln x x2 1ln x x2 ， 令 f(x)0，得 xe， f(x)在(0，e)上单调递增 ； 在(e，)上单调递减f(x)的最大值 f(e) ，f(x) 1 e ln x x (仅当 xe 时，等号成立)a ，原方程无实根 1 e 1 e 【答案】A 4某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从 上午 6 时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关 系可近似地用如下函数给出：y t3 t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最 1 8 3 4 629 4 多的时刻是_时 【解析】 y t2 t36 (t12)(t8)， 令 y0 得 t12(舍去)或 t8， 当 6t0，当 80，h(x)在(4，5为增函数； 当 50，f(x)0， f(x)minf(0)1. (2)由 g(x)f(x)ln xx20 得 m， exln xx2 x 令 h(x)， exln xx2 x 则 h(x)，观察得 x1 时 h(x)0. （x1）exx21ln x x2 当 x1 时，h(x)0，当 00；当 x1 时， g0，所以方程可化为 a， ln x1 x 令 h，则 h，(x) ln x1 x (x) 1(ln x 1) x2 2ln x x2 令 h0，可得 xe2，(x) 当 00，(x) 当 xe2时， he2时， h0，(x)(x) 所以 h的图象大致如图所示，(x) ln x1 x 结合图象可知，当 a时，方程 a没有根； 1 e2 ln x1 x 当 a或 a0 时，方程 a有一个根； 1 e2 ln x1 x 当 0时，函数 f无零点 ； 当 a或 a0 时，函数 f有一个零点 ； 当 00)例4 1 2 (1)若 x1 是函数 f(x)的极大值点，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x) x2axb 恒成立，求实数 ab 的最大值 1 2 【解析】(1)f(x) a1x， a x x2 2（a1）xa x （xa）（x1） x x1 是函数 f(x)的极大值点，00)，g(x) 1， a x ax x g(x)在(0，a)上递增，在(a，)上递减， g(x)maxg(a)aln aab0， baaln a，aba2a2ln a， 令 h(x)x2x2ln x(x0)， h(x)x2xln xx(12ln x)， h(x)在上递增，在(e ，)上递减， (0，e e 1 1 2 2 ) 1 2 h(x)maxh(e ) ，ab ， 1 2 e e 2 2 e e 2 2 实数 ab 的最大值为 . e e 2 2 【小结】 利用导数研究不等式恒成立问题， 首先要构造函数， 利用导数研究函数的单调性， 求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围 ； 也可分离变量，构造函数， 直接把问题转化为函数的最值问题 考点 4 利用导数证明不等式 设函数 f(x)ln xx1.例5 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x(1，)时，1x. x1 l ln n x x 【解析】(1)函数 f(x)ln xx1 的定义域为(0，)，其导函数为 f(x) 1， 1 x 由 f(x)0，可得 0x1；由 f(x)0，可得 x1， 即 f(x)的增区间为(0，1)；减区间为(1，) (2)当 x(1，)时，1x，即为 ln xx1xln x. x1 l ln n x x 由(1)可得 f(x)ln xx1 在(1，)上递减， 可得 f(x)f(1)0，即有 ln xx1； 设 F(x)xln xx1，x1，则 F(x)1ln x1ln x， 当 x1 时，F(x)0，可得 F(x)递增，即有 F(x)F(1)0， 即有 xln xx1，则原不等式成立 【小结】利用导数证明不等式： 若证明 f(x)g(x)， x(a， b)， 可以构造函数 F(x)f(x)g(x)， 如果 F(x)0， 则 F(x)在(a， b) 上是减函数， 同时若 F(a)0， 由减函数的定义可知， x(a， b)时， 有 F(x)0， 即证明了 f(x) g(x) 【能力提升】 已知函数 f(x)1 ln (a 为实数)例6 a x 1 x (1)当 a1 时，求函数 f(x)的图象在点处的切线方程； ( 1 2，f f( 1 1 2 2) (2)设函数 h(a)3a2a2(其中 为常数)，若函数 f(x)在区间(0，2)上不存在极值，且存 在 a 满足 h(a) ，求 的取值范围； 1 8 (3)已知 nN*，求证：ln(n1)0，f(x)单调递增；当 x(1，)时，f(x)1 时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以 g(x)g(1)0.因此 f(x)e0.