2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 Word版含解析.pdf

第第 21 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 夯实基础 【p50】 【学习目标】 1掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2掌握二倍角公式； 3灵活应用公式 【基础检测】 1化简 cos 15°cos 45°sin 15°sin 45°的值为( ) A. B. C D 1 2 3 2 1 2 3 2 【解析】由题意可得：cos 15°cos 45°sin 15°sin 45°cos(15°45°)cos 60° .故选 A. 1 2 【答案】A 2. sincos( ) 1 2 12 12 A. B. C. D. 1 2 1 4 1 8 1 16 【解析】由题意得， sincos sin ×× ，故选 C. 1 2 12 12 1 4 6 1 4 1 2 1 8 【答案】C 3若 sin ，则 cos2( ) 1 3 ( 2 4) A. B. C. D0 2 3 1 2 1 3 【解析】cos2 . ( 2 4) 1cos( 2) 2 1sin 2 2 3 2 1 3 故选 C. 【答案】C 4已知 、 为锐角， sin ， tan ，则 tan ( ) 3 5 () 1 3 A. B. C3 D. 13 9 9 13 1 3 【解析】sin ， 为锐角，cos . 3 5 1sin2 4 5 tan . sin cos 3 4 tan tan.故选 A.() tan()tan 1tan()·tan 13 9 【答案】A 【知识要点】 1两角和与差的三角函数公式 S(±)：sin(±)_sin_cos_±cos_sin_ C(±)：cos(±)_cos_cos_sin_sin_ T(±)：tan(±)_(，±k ，kZ) tan ± tan 1 tan tan 2 2二倍角的三角函数公式 S2a：sin 2_2sin_cos_ C2：cos 2_cos2sin2_2cos21_ _12sin2_ T2：tan 2_ 2tan 1tan2 3常用公式变形 (1)tan ±tan _tan(±)(1tan_·tan_)_； (2)降幂：cos2_，sin2_； 1cos 2 2 1cos 2 2 (3)配方：1±sin ； (sin 2 ± cos 2) 2 (4)升幂：1cos _2cos2_； 2 1cos _2sin2_ 2 4辅助角公式 asin bcos sin().a2b2 (其中tan b a) sin ±cos sin.2 ( ± 4) 典 例 剖 析 【p51】 考点考点 1 三角函数公式的基本应用 三角函数公式的基本应用 (1)若 ，tan ，则 sin 等于( )例1 ( 2， ，) ( 4) 1 7 A. B. 3 5 4 5 C D 3 5 4 5 【解析】(1)tan ， ( 4) tan 1 1tan 1 7 tan ， 3 4 sin cos cos sin . 4 3 又sin2cos21， sin2. 9 25 又，sin . ( 2， ，) 3 5 【答案】A (2)计算的值等于_ sin 47°sin 17°cos 30° cos 17° 【解析】 由 sin 47°sinsin 30°cos 17°sin 17°cos 30°知， 原式(30°17°) sin 30°cos 17° cos 17° . 1 2 【答案】1 2 【小结】观察分析角和三角函数名称之间的关系，实现非特殊角向特殊角的转化是求解 此类题的关键 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 考点考点 2 三角函数公式的逆用和变形用 三角函数公式的逆用和变形用 (1)已知 cossin ，则 sin的值是( )例2 ( 6) 4 3 5 ( 7 6) A B. C D. 2 3 5 2 3 5 4 5 4 5 【解析】cossin sin cos ( 6) 3 2 3 2 sin，3 ( 6) 4 3 5 所以 sin ， ( 6) 4 5 故 sinsinsin ，选 C. ( 7 6) ( 6) ( 6) 4 5 【答案】C (2)在斜三角形 ABC 中，sin Acos B·cos C，且 tan B·tan C1，则角 A 的值为22 ( ) A. B. C. D. 4 3 2 3 4 【解析】由题意知：sin Acos B·cos Csin(BC)sin B·cos Ccos B·sin C，2 在等式cos B·cos Csin B·cos Ccos B·sin C 两边同除以 cos B·cos C，2 得 tan Btan C， 又 tan(BC)1tan A， 所以 tan A1， A2 tan Btan C 1tan Btan C . 4 【答案】A 考点考点 3 角的变形问题 角的变形问题 已知 cos ， sin，且 ， .例3 5 5 () 10 10 (0， ， 2) 求：(1)cos的值；(2) (2) 的值 【解析】(1)因为 ， ，所以 ， (0， ， 2) ( 2 ， ， 2) 又因为 sin()，所以 0 ， 10 10 2 则 cos，sin ，() 3 10 10 2 5 5 则 cos(2)coscos cos()() sin sin.() 2 10 (2)cos cos() cos cossin sin.()() 2 2 又因为 ，所以 . (0， ， 2) 4 【小结】仔细分析角与角之间的关系是利用两角和与差的三角函数求值的关键，解这部 分问题时，“，“一看角、二看名、三看结构” ” (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 当“已知角”有两个时，“，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” (2)常见的配角技巧 ： 2()()， ()， ， 2 2 2 2 ，等 2 ( 2) ( 2) 【能力提升】 在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，已知 sin2sin2.例4(AB) ( C 2 4) (1)求 sin Acos B 的值； (2)若 ，求 B. a b 2 3 3 【解析】(1)sin1cos 1sin C 1sin，(AB) (C 2) (AB) 故 2sin Acos B1，sin Acos B . 1 2 (2)由正弦定理得 ， sin A sin B a b 2 3 3 由(1)知 sin Acos Bsin Bcos Bsin 2B ， 2 3 3 3 3 1 2 sin 2B，2B 或，B 或 . 3 2 3 2 3 6 3 方 法 总 结 【p52】 1巧用公式变形： 和差角公式变形： tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)； 倍角公式变形： 降幂公式 cos2，sin2， 1cos 2 2 1cos 2 2 配方变形：1±sin ， (sin 2 ± cos 2) 2 1cos 2cos2，1cos 2sin2. 2 2 2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” ；变角：对角的分拆 要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要 尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、 函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 走 进 高 考 【p52】 1(2018·全国卷)若 sin ，则 cos 2( ) 1 3 A. B. C D 8 9 7 9 7 9 8 9 【解析】cos 212sin21 . 2 9 7 9 【答案】B 2(2018·全国卷)已知tan，则tan ( 5 4) 1 5 _. 【解析】tan ， ( 5 4) tan tan 5 4 1tan ·tan 5 4 tan 1 1tan 1 5 解方程得 tan . 3 2 【答案】3 2