2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第23讲　三角函数的图象与性质 Word版含解析.pdf

第第 23 讲 三角函数的图象与性质讲 三角函数的图象与性质 夯实基础 【p54】 【学习目标】 1掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 2会用“五点法”画函数 yAsin(x)的图象，理解 A、 的物理意义 3掌握函数 yAsin(x)与 ysin x 图象间的变换关系 4会由函数 yAsin(x)的图象或图象特征求函数的解析式 【基础检测】 1下列函数中，周期为 且为偶函数的是( ) Aysin Bycos (2x 2) (2x 2) Cysin Dycos (x 2) (x 2) 【解析】对于选项 A，ycos 2x，周期为 且是偶函数，所以选项 A 正确； 对于选项 B，ysin 2x，周期为 且是奇函数，所以选项 B 错误； 对于选项 C，ycos x，周期为 2，所以选项 C 错误； 对于选项 D，ysin x，周期为 2，所以选项 D 错误 故选 A. 【答案】A 2y3sin的一条对称轴是( ) ( x 2 3) Ax Bx Cx Dx 2 3 2 3 8 3 【解析】由题意， k ， x 2 3 2 x2k(kZ)， 5 3 y3sin的一条对称轴是 x ，故选 C. ( x 2 3) 3 【答案】C 3函数 yAsin(x)的部分图象所示，则( ) Ay2sin(2x 6) By2sin(2x 3) Cy2sin(x 6) Dy2sin(x 3) 【解析】由图可得：函数的最大值为 2，最小值为2，故 A2， ，故 T，2， T 2 3 6 故 y2sin(2x)， 将点代入可得：2sin2， ( 3，2) ( 2 3 ) 则 满足要求， 6 故 y2sin，故选 A. (2x 6) 【答案】A 4将函数 ysin的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再往上平移 1 (x 6) 1 2 个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( ) A. B. ( 3， 6) ( 2， 2) C. D. ( 3， 3) ( 6， 2 3) 【解析】将函数 ysin的图象上各点的横坐标变为原来的 ，可得 ysin， (x 6) 1 2 (2x 6) 再往上平移 1 个单位，得函数 ysin1 的图象，令 2k2x 2k，kZ， (2x 6) 2 6 2 解得： kx k，kZ，当 k0 时，单调递增区间为，故选 A. 3 6 ( 3， 6) 【答案】A 【知识要点】 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x， x0， 2的图象中， 五个关键点是 ： (0， 0)， (， 0)， (2， ( 2，1) ( 3 2 ，1) 0) 余弦函数 ycos x， x0， 2的图象中， 五个关键点是 ： (0， 1)， _(， 1)_， ( 2，0) ( 3 2 ，0) (2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RRx|xR 且 x k，kZ 2 值域_1，1_1，1_R 单 调 性 在 2k， 2 2 2k(kZ)上递增 ； 在 2k， 2 3 2 2k(kZ)上递减 在2k， 2k(kZ)上递增；在 2k，2k(kZ) 上递减 在( k， 2 2 k)(kZ)上递增 最值 当 x 2k(kZ) 2 时， ymax1； 当 x 2k(kZ)时，ymin 2 1 当 x2k(kZ)时， ymax1；当 x 2k(kZ)时， ymin 1 奇偶性_奇函数_偶函数_奇函数_ 对称 中心(k，0)(kZ)(kZ)(kZ) ( 2k，0) (kZ) ( k 2 ，0) 对称轴 方程x k(kZ) 2 xk(kZ) 周期2_2_ 3.函数 yAsin(x)(A0，0)的图象 其中相位变换中平移量为_|_个单位，0 时，向_左_移，0 时，向_右_移； 横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的_ _倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵 1 坐标变为原来的_A_倍 4 当函数 yAsin(x)(A0， 0， x0， )表示一个振动时， _A_叫作振幅， T _叫作周期，f_ _叫作频率，_x_叫作相位，_叫作初相 2 | 1 T 5根据 yAsin(x)k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A； 最高点纵坐标最低点纵坐标 2 k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k； 最高点纵坐标最低点纵坐标 2 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T(0)来确定 ； 2 的确定 ： 由函数 yAsin(x)k 取开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令 x0，x )确定 . 典 例 剖 析 【p55】 考点考点 1 画三角函数图象及图象变换 画三角函数图象及图象变换 已知函数 ycos 2xsin 2x1，xR.例13 (1)求它的振幅、周期和初相； (2)该函数的图象是由 ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ (3)用五点法作出它一个周期范围的简图 【解析】(1)因为函数 ycos 2xsin 2x1，xR，3 所以 y2sin1， (2x 6) 它的振幅为 A2，周期 T，初相 . 2 2 6 (2)ysin x 的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到 y2sin x. y2sin x 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到 y2sin 2x. 1 2 y2sin 2x 沿 x 轴向左平移个单位，得到 y2sin. 12 (2x 6) y2sin沿 y 轴向上平移 1 个单位，得到 (2x 6) y2sin1. (2x 6) (3)选取，五个点，用“五点法”能作出它一个周 ( 12，1) ( 6，3) ( 5 12，1) ( 2 3 ，1) (11 12 ，1) 期范围的简图 【小结】“五点法作图”应抓住四条： 化为 yAsin(x)(A0，0)或 yAcos(x)(A0，0)的形式； 求出周期 T； 2 求出振幅 A； 列出一个周期内的五个特殊点， 当画出某指定区间上的图象时， 应列出该区间的特殊点 考点 2 由图象求三角函数解析式 已知函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图所示例2 (A 0， ， 0， ， 1 2 0，0，00，cos 0，0 0)(x) 个单位长度，向下平移 3 个单位长度，得到函数 yg的图象，若函数 g的图象关于原点(x)(x) 对称，求实数 m 的最小值 【 解 析 】 (1)f a2 b2 sin2 4 1 cos2 cos(x)(ab)(ab)(x)(x) 3.(2x2) 由题可知， 1, T4， T 4 由 T4 得 . 2 2 4 又函数 f经过点 M，(x) (1， 7 2) cos3 ， ( 2·12) 7 2 cos . ( 22) 1 2 00，当 k1 时， m 的最小值为， 4 3 综上所述，实数 m 的最小值为. 4 3 【小结】求 f(x)Asin(x)的解析式时应注意 A， 的正负和 的范围情况 方 法 总 结 【p56】 1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式 2函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周 2 | 期为. | 3对于函数 yAsin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过 换元的方法令 tx，将其转化为研究 yAsin t 的性质 4对于已知函数 yAsin(x)的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题 ： 首先， 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而 利用它们之间的关系可求解 走 进 高 考 【p56】 1(2018·全国卷)函数 f(x)的最小正周期为( ) tan x 1tan2x A. B. C D2 4 2 【解析】由已知得 f(x) tan x 1tan2x sin x cos x 1(sin x cos x) 2 sin x·cos x sin 2x， sin x cos x cos2xsin2x cos2x 1 2 所以 f(x)的最小正周期为 T，故选 C. 2 2 【答案】C 2(2018·全国卷)若 f(x)cos xsin x 在0，a上是减函数，则 a 的最大值是( ) A. B. C. D 4 2 3 4 【解析】因为 f(x)cos xsin xcos，2 (x 4) 所以由 02kx 2k(kZ)得 2kx2k(kZ)， 4 4 3 4 当 k0 时，x，故 amax，故选 C. 4， 3 4 3 4 【答案】C