2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第24讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 Word版含解析.pdf

第第 24 讲 函数讲 函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 夯实基础 【p56】 【学习目标】 1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性 2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间 及其周期 3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题 【基础检测】 1f(x)sin的最小正周期和振幅分别是( ) (2x 6) A，1 B，2 C2，1 D2，2 【解析】由正弦函数的性质知，T，振幅为 1，故选 A. 2 2 【答案】A 2已知函数 yAsin(x)m 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 ，直线 x 2 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( ) 3 Ay4sin(4x 6) By2sin2 (2x 3) Cy2sin2 (4x 3) Dy2sin2 (4x 6) 【解析】最小值为 0，排除 A 选项最小正周期为 ，4，排除 B 选项代入 x 可 2 3 知 C 选项不符合，故选 D. 【答案】D 3如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sink，据 ( 6x) 此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_ 【解析】由图象得，当 sin1 时，ymin2，求得 k5， ( 6x) 当 sin1 时，ymax3××158. ( 6x) 【答案】8 4 已知函数 f(x)3sin(0)和 g(x)3cos(2x)的图象完全相同 若 x， (x 6) 0， ， 2 则 f(x)的值域是_ 【解析】f(x)3sin3cos3cos (x 6) 2(x 6)(x 2 3) 所以 2，则 f(x)3sin， (2x 6) x， 2x ， 0， ， 2 6 6 5 6 f(x)3. 3 2 【答案】3 2， ，3 【知识要点】 1基本三角函数的性质 名称定义域值域周期性奇偶性单调性对称性 ysin xR1，1T2奇函数 递增区间 2k 2，2k 2 (kZ) 递减区间 2k 2，2k 3 2 (kZ) 关于直线 x k 2 (kZ)轴对 称 关于点(k， 0)(kZ)中 心对称 ycos xR1，1T2偶函数 递增区间 2k， 2k(kZ) 递减区间 2k，2k (kZ) 关于直线 x k(kZ) 轴对称 关于点 (k 2，0) (kZ)中心 对称 ytan x x|xk 2 ， kZRT奇函数 在每一个区 间 (k 2，k 2) (kZ)内都 是增函数 关于点 ( k 2 ，0) (kZ)中心 对称，不是 轴对称图形 2.yAsin xB(xR)和 yAcos xB(xR)的最大值为_|A|B_， 最小值为_|A| B_ 3三角函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间且彼此独立，运用三角函数的 单调性比较三角函数值大小时，必须使被比较的函数同名，且自变量要落在同一个单调区间 内 4 函数 yAsin(x)B， yAcos(x)B 的周期为 T_； 函数 yAtan(x 2 | )的周期为 T_，注意 y_|sin_x|_，y|cos x|的周期为 T_，但 y|tan x| | 的周期仍为_ 5函数 yAsin(x)(A0，0)的图象具有轴对称和中心对称，具体如下： (1)函数 yAsin(x)的图象关于直线 xxk(其中 xkk ， kZ)成轴对称图形 2 (2)函数 yAsin(x)的图象关于点(xk，0)(其中 xkk，kZ)成中心对称图形 典 例 剖 析 【p57】 考点考点 1 由图象确定 由图象确定 yAsin(x)的解析式的解析式 (1)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数例1 ( 2 2) g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P，则 的值可以是( ) (0， ， 3 2) A. B. C. D. 5 3 5 6 2 6 【解析】P在 f(x)的图象上， (0， ， 3 2) f(0)sin . 3 2 ， ( 2， ， 2) ， 3 f(x)sin. (2x 3) g(x)sin. 2（x） 3 g(0)， 3 2 sin. ( 32) 3 2 验证 时， 5 6 sinsinsin成立 ( 32) ( 3 5 3) ( 4 3) 3 2 【答案】B (2)已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0， )，其部分图象如下 2 2 图所示，将 f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的 倍，再向右平移 1 个单位得到 g(x)的 1 2 图象，则函数 g(x)的解析式为( ) Ag(x)sin( 8x1) Bg(x)sin( 2x 4) Cg(x)sin( 8x1) Dg(x)sin( 2 x 4) 【解析】根据图象可知：A1，T48，解得 ，所以 fsin，(11) 2 4 (x) ( 4x) 由 2k且 0 时，可用均值定理求最值 b tan x at2b t (6)y根据正弦函数的有界性， 既可用分析法求最值， 还可用不等式法求最值， asin xb csin xd 也可用数形结合法求最值 考点考点 3 奇偶性、单调性 奇偶性、单调性 已知函数 f(x)2sin xcos x2sin2x，xR.例333 (1)求函数 yf(x)的单调递减区间； (2)若函数 yf(x)为偶函数，求 的值 (0 0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把 x 看 作一个整体，在求 f(x)的单调递减区间时，由 2k 2x 2k解出 x 的范围，所得区 2 3 3 2 间即为减区间 【能力提升】 已知函数 f(x)cos xsin x，g(x)cos(xR)例42 (x 4) (1)求函数 F(x)f(x)·g(x)f2(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若 f(x)2g(x)，求的值 1sin2x cos2xsin xcos x 【解析】(1)易得 g(x)cos xsin x， F(x)(cos xsin x)(cos xsin x)(cos xsin x)2 sin1，2 (2x 4) 函数 F(x)的最小正周期 T， 2 2 又由 2k 2x 2k (kZ)， 2 4 2 得 kxk (kZ)， 3 8 8 函数 F(x)的单调递增区间为(kZ) k 3 8 ，k 8 (2)由题意，cos xsin x2(cos xsin x)， tan x ， 1 3 . 1sin2x cos2xsin xcos x cos2x2sin2x cos2xsin xcos x 12tan2x 1tan x 11 6 【小结】求 yAsin(x)(A0，0)的单调区间，基本思路是把 x 看作一个整体， 由 2k x2k (kZ)，求得其增区间，由 2k x2k(kZ)，求得 2 2 2 3 2 其减区间 要注意正切函数只是在每一个开区间(kZ)上具备单调性， 在整个定 (k 2，k 2) 义域上没有单调性正弦型、余弦型函数的单调性则根据它们各自的单调区间求解 方 法 总 结 【p59】 1五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向； (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言，而不是看角 x 的变化 2由图象确定函数解析式 由图象确定 yAsin(x)时， 的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点 代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点 3对称问题 函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心， 经过该图象上坐标为(x， ±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对 值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离) 4 求三角函数的单调区间、 周期、 最值等常化为 yAsin(x)B 或 yAcos(x) B 的形式 (1)对于 f(2xT)f(2x)，应写成 f(2xT)ff(2x)，其周期为 ，而不是 T. 2(x T 2) T 2 (2)y|Asin(x)|的周期为 T，即形如 y|Af(x)|的正弦、余弦函数周期减半； | 正切函数的周期则不变 (3)形如 yf(x)的三角函数在求解对称性等问题时， 往往把x 看作一个整体 求 正弦函数的对称轴，则令 xk ，kZ；求对称中心，则令 xk，kZ. 2 走 进 高 考 【p59】 1(2018·北京)已知函数 f(x)sin2xsin xcos x.3 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间上的最大值为 ，求 m 的最小值 3，m 3 2 【解析】(1)f(x)sin 2xsin 2x cos 2x sin ， 1cos 2x 2 3 2 3 2 1 2 1 2 (2x 6) 1 2 所以 f(x)的最小正周期为 T. 2 2 (2)由(1)知 f(x)sin . (2x 6) 1 2 因为 x，所以 2x . 3，m 6 5 6 ，2m 6 要使得 f(x)在上的最大值为 ， 3，m 3 2 即 sin在上的最大值为 1. (2x 6) 3，m 所以 2m ，即 m . 6 2 3 所以 m 的最小值为 . 3