2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第25讲　解三角形 Word版含解析.pdf

第第 25 讲 解三角形讲 解三角形 夯实基础 【p59】 【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算 【基础检测】 1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a3，b5，c7，那么 cos C 的值是( ) A. B C. D. 1 2 1 2 11 14 13 14 【解析】由余弦定理可得 cos C . a2b2c2 2ab 325272 2·3·5 1 2 故选 B. 【答案】B 2已知锐角ABC 的面积为 3，BC4，CA3，则角 C 的大小为( )3 A75° B60° C45° D30° 【解析】S BC·CAsin C ××4××3sin C3，解得 sin C， 1 2 1 2 3 3 2 又因为ABC 为锐角三角形，C，所以 C60°， (0， ， 2) 故选 B. 【答案】B 3如图，在 200 m 高的山顶 A 上，测得山下一塔顶 B 与塔底 C 的俯角分别是 30°，60°， 则塔高 CB 为( ) A. m B. m 400 3 400 3 3 C. m D. m 200 3 3 200 3 【解析】如图所示，设塔高 CB 为 x，则山高 AO200，且 AOCD 为矩形， 所以 tan 30°， BD AD 200x AD 3 3 AD(200x)，3 所以 tan 60°， CD AD 200 AD 3 AD， 200 3 由(200x)得 x(米) 200 3 3 400 3 故选 A. 【答案】A 4 设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 a2， cos C ， 3sin A2sin B， 1 4 则 c_ 【解析】由 3sin A2sin B，得 3a2b，即 b a3.在ABC 中，由余弦定理 cos C 3 2 ，得 ，解得 c4. a2b2c2 2ab 1 4 2232c2 2 ×× 2 ×× 3 【答案】4 【知识要点】 1正弦定理及变式 (1)_2R_ a sin A b sin B c sin C (2)a_2Rsin_A_，b_2Rsin_B_，c_2Rsin_C_ (3)sin A_，sin B_，sin C_ a 2R b 2R c 2R (4)sin Asin Bsin C_abc_ 2余弦定理及变式 a2_b2c22bccos_A_ b2_a2c22accos_B_ c2_b2a22bacos_C_ cos A_ b2c2a2 2bc cos B_ a2c2b2 2ac cos C_ a2b2c2 2ab 3三角形的面积公式 S absin C_ acsin_B_ bcsin_A_ 1 2 1 2 1 2 4(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线_上方_ 叫仰角，目标视线在水平视线_下方_叫俯角(如图) (2)方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等 (3)方位角 指从_正北_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图) 5应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤 (1)根据题意画出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知 元和未知元； (3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性； (4)给出答案 6从理论上讲正弦定理可解决两类问题 (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况比较复杂， 可能无解，可能一解或两解 例如：已知 a，b 和 A，用正弦定理求 B 时的各种情况. A 为锐角A 为钝角 或直角 图形 关系 式abab 解的 个数无解一解两解一解一解无解 典 例 剖 析 【p60】 考点考点 1 三角形解的个数 三角形解的个数 (1)已知在ABC 中，b2，c2，C30°，那么解此三角形可得( )例13 A一解 B两解 C无解 D解的个数不确定 【解析】，sin B， b sin B c sin C bsin C c 2 3 ×× 1 2 2 3 2 bc，B60°或 120°，故解此三角形可得两解 【答案】B (2)在ABC 中，若 b2，a2，且三角形有解，则 A 的取值范围是_2 【解析】由正弦定理得 sin A sin Bsin B. b sin B a sin A a b 2 2 由 B(0，)且 ab，则 0sin A，0A . 2 2 4 【答案】0A 4 【小结】本题主要考查正弦定理，特别注意正弦定理变形的应用 解三角形的常见类型和解法： (1)已知两角和一边，首先根据内角和求出第三角，用正弦定理求解有解时，只有一解 (2)已知两边和夹角，先用余弦定理求第三边，再应用正弦定理求另两角必有一解 (3)已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求 第三边可有两解、一解或无解 (4)已知三边可应用余弦定理求对应的三个角有解时，只有一解 考点 2 三角形中的计算问题 在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.例2 (1)若 2sin Acos Csin B，求 的值； a c (2)若 sin(2AB)3sin B，求的值 tan A tan C 【解析】 (1)由正弦定理得 . sin A sin B a b 从而 2sin Acos Csin B 可化为 2acos Cb. 由余弦定理得 2a××b. a2b2c2 2ab 整理得 ac，即 1. a c (2)在斜三角形 ABC 中，ABC， 所以 sin(2AB)3sin B 可化为 sin(AC)3sin(AC)， 即sin(AC)3sin(AC) 故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C) 整理得 4sin Acos C2cos Asin C， 因为ABC 是斜三角形，所以 cos Acos C0， 所以 . tan A tan C 1 2 【小结】1.正弦定理是一个连比等式，题设条件中含有比值或者角的正弦形式时，可考虑 正弦定理 2余弦定理是含 a2，b2，c2的等式，题设条件中含有 a2，b2，c2或者角的余弦形式时， 可考虑余弦定理 考点 3 和三角形面积有关的问题 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 tan A，c.例3 sin C 1cos C 2 (1)求 的值； b a (2)若三角形ABC 的面积为，求角 C. 3 6 【解析】(1)由题意知，tan A ， sin C 1cos C 则 ，即有 sin Asin Acos Ccos Asin C， sin A cos A sin C 1cos C 所以 sin Asin Acos Ccos Asin Csinsin B，(AC) 由正弦定理 ab，则 1. b a (2)因为三角形ABC 的面积为，ab，c， 3 6 2 所以 S absin C a2sin C，则 a2sin C ， 1 2 1 2 3 6 3 3 由余弦定理得，cos C， a2b2c2 2ab 2a22 2a2 由得，cos Csin C1，则 2sin1，3 (C 6) sin ， (C 6) 1 2 又 0C，则 C ，即 C ，解得 C. 6 6 7 6 6 5 6 2 3 【小结】(1)对于面积公式 S absin C acsin B bcsin A，一般是已知哪一个角就使 1 2 1 2 1 2 用哪一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【能力提升】 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acsin Bbcos C.例4 (1)求 AC 的值； (2)若 b，求ABC 面积的最大值2 【解析】(1)由正弦定理，得 sin Asin Csin Bsin Bcos C， 又 sin Asin (BC)sin(BC) sin Bcos Ccos Bsin C， 所以 cos Bsin Csin Csin B. 又因为 C(0，)，所以 sin C0， 所以 cos Bsin B，所以 tan B1. 又 B(0，)，所以 B ，所以 AC . 4 3 4 (2)由余弦定理得 b2a2c22accos B， 所以 2a2c2ac，2 所以 2aca2c22ac，当且仅当 ac 时，等号成立，2 即 ac2， 2 2 2 2 所以 S ABC acsin B ac， 1 2 2 4 1 2 2 所以ABC 面积的最大值为. 1 2 2 方 法 总 结 【p61】 1应熟练掌握和运用内角和定理：ABC， 中互补和互余的情况，结 A 2 B 2 C 2 2 合诱导公式可以减少角的种数 2解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边 3利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 4由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即 ABabsin Asin B. 5已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解 的情况(存在两解、一解和无解三种可能) 6利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 走 进 高 考 【p61】 1(2018·全国卷)在ABC 中，cos ，BC1，AC5，则 AB( ) C 2 5 5 A4 B. C. D2230295 【解析】因为 cos C2cos212××1 ， C 2( 5 5) 2 3 5 所以 AB2BC2AC22BC××ACcos C1252××1××5××32， ( 3 5) 所以 AB4，选 A.2 【答案】A 2(2018·全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 ，则 C( ) a2b2c2 4 A. B. C. D. 2 3 4 6 【解析】 S absin Ca2b2c22ab·sin Csin C， ， cos C a2b2c2 4 1 2 a2b2c2 2ab sin C，C . 4 【答案】C