2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第27讲　平面向量的概念及线性运算 Word版含解析.pdf

第第 27 讲 平面向量的概念及线性运算讲 平面向量的概念及线性运算 夯实基础 【p63】 【学习目标】 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2理解向量的加法和减法及几何意义 3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 【基础检测】 1已知两点 A(4，1)，B(7，3)，则与向量同向的单位向量是( )AB A± B. ( 3 5， ， 4 5) ( 3 5， ， 4 5) C. D. ( 3 5， ， 4 5) ( 4 5， ， 3 5) 【解析】因为 A、B 两点的坐标为 A(4，1)，B(7，3)， 所以(3，4)，AB 所以|5，AB 所以与向量同向的单位向量为.AB ( 3 5， ， 4 5) 故选 C. 【答案】C 2如图，在ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是 BE 边的中点，若a，b，则AB AC ( )AO A. a b 1 2 1 2 B. a b 1 2 1 4 C. a b 1 4 1 2 D. a b 1 4 1 4 【解析】由题意，在ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，所以，AE 1 2AC 又因为 O 为 BE 的中点， 所以 () a b，故选 B.AO 1 2 AB AE 1 2AB 1 2AE 1 2 1 4 【答案】B 3下列命题中： ab存在唯一的实数 R，使得 ba； 若 e 为单位向量，且 ae，则 a±|a|·e； |a·a·a|a|3； 若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线； 若 a·bb·c 且 b0，则 ac. 其中正确命题的序号是( ) A B C D 【解析】对于，根据共线向量的定理可知，当 a0 时此命题才正确，所以此命题错误 ； 对于， 根据共线向量和单位向量的定义可知， 两向量共线方向相反或相同， 所以此命题正确 ； 对于，根据向量数量积的性质 a·aa2|a|2知道此命题正确；对于，向量的平行不具有传 递性，当 b0 时才满足传递性，所以此命题错误；对于，由已知得(ac)·b0 且 b0， 则 a 与 c 相等或不相等，因为当(ac)b 也正确，所以此命题错误，所以选 B. 【答案】B 4已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _ 【解析】由已知得 abk(b3a)， 解得 k， 3k1，) 1 3， k1 3. ) 【答案】1 3 【知识要点】 1向量的有关概念 (1)向量：_既有大小又有方向的量_叫向量一般用 a，b，c，来表示，或用有向线段 的起点与终点的大写字母来表示，如：.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|.AB AB (2)零向量：_长度为零_的向量，记作 0，其方向是任意的我们规定：零向量和任何向 量平行 (3)单位向量：_长度等于 1 个_单位长度的向量与非零向量 a 同向的单位向量为， a |a| 与 a 反向的单位向量为. a |a| (4)相等向量 ： 长度相等且_方向相同_的向量 相等向量经过平移后总可以重合， 记为 a b. (5)平行向量：方向_相同或相反_的非零向量，叫作共线向量，因此任何平行向量经过 平移后，总可以移到同一条直线上 2向量的加、减运算 (1)向量加、减法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法； 若_bxa_，则向量 x 叫作 a 与 b 的差 (2)向量加、减法的几何意义 向量加法的几何意义 向量的加法符合平行四边形法则和_三角形法则_ 如图所示的向量ab.AC 向量减法的几何意义 向量的减法符合_三角形法则_如图所示的向量ab(以减向量的终点为起点，被BA 减向量的终点为终点的向量) 常用结论 M 为AOB 边 AB 的中点，则 ()OM 1 2 OA OB (3)线段中点的向量表示 ： 若M 是线段AB的中点， O 是平面内任一点， 则.OM 1 2(OA OB ) 向量加法的多边形法则：有限个向量 a1，a2，an相加，可以从点 O 出发，逐一作 向量a1，a2，An1Anan，则向量是这些向量的和，即OA1 A1A2 OAn a1a2anAn1An(向量加法的多边形法则)OA1 A1A2 OAn 当 An和 O 重合时(即上述折线 OA1A2An成封闭折线时)，和向量为零向量 3向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|； 当 0 时，a 与 a 的_方向相同_； 当 2，AC AB AD AB 1 1 与已知条件 2 矛盾，因此 C 不对 1 1 若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则时，1，时，1，此时 AC AB AD AB 1 1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法AC AB 思想的应用，本题难度适中 方 法 总 结 【p66】 1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与 平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点” ；向量减法的 三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量” ；平行四边形法则要素是“起点重合” 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 3对于三点共线有以下结论 ： 对于平面上的任一点 O，不共线，满足xyOA OB OP OA (x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.OB 走 进 高 考 【p66】 1(2018·全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则( )EB A. B. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC C. D. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC 【解析】由题意可得 ().EB EA AB 1 4 AB AC AB 3 4AB 1 4AC 【答案】A