2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章 第五节 概率与统计 大题增分策略 第一课时　解题能力“过三关”（审答怎么办） Word版含答案.pdf

第五节第五节“概率与统计”大题增分策略“概率与统计”大题增分策略 概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能 读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数 学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准 确的计算能力，具备足够的心理定力 概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能 读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数 学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准 确的计算能力，具备足够的心理定力.为突破“概率与统计”这一高考大题，本节将分设两课 时给予突破：第一课时 为突破“概率与统计”这一高考大题，本节将分设两课 时给予突破：第一课时解题能力“过三关”解题能力“过三关”(从必备技能上给予指导从必备技能上给予指导)；第二课时；第二课时高 考命题“三交汇” 高 考命题“三交汇”(从考查题型上给予点拨从考查题型上给予点拨). 第一课时 解题能力“过三关”第一课时 解题能力“过三关”(审答怎么办审答怎么办) 文字关文字关抓关键语句，破干扰信息抓关键语句，破干扰信息 例 1 调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入 的满意度有极强的相关性 例 1 调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入 的满意度有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为现将这三项的满意度指标分别记为 x，y，z，并对它们进行量化：，并对它们进行量化：0 表示不满意，表示不满意，1 表示基本满意，表示基本满意，2 表示满意表示满意.再用综合指标再用综合指标 xyz 的值评定居民对城市的 居住满意度等级：若 的值评定居民对城市的 居住满意度等级：若 4，则居住满意度为一级；若，则居住满意度为一级；若 23，则居住满意度为二级；若，则居住满意度为二级；若 01，则居住满意度为三级，则居住满意度为三级.为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城 市居民中随机抽取 为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城 市居民中随机抽取 10 人进行调查，得到如下结果：人进行调查，得到如下结果： 人员编号人员编号12345 (x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1) 人员编号人员编号678910 (x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1) (1)在这在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，求这人，求这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同的概率；相同的概率； (2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为 m，从居住满意度不是一 级的被调查者中任取一人，其综合指标为 ，从居住满意度不是一 级的被调查者中任取一人，其综合指标为 n，记随机变量，记随机变量 Xmn，求随机变量，求随机变量 X 的分布列 及其数学期望 的分布列 及其数学期望. 解 解 (1)记事件记事件 A 为“从为“从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，这人，这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同” ， 则居住满意度指标 相同” ， 则居住满意度指标 z 为为 0 的只有编号为的只有编号为 9 的的 1 名；居住满意度指标名；居住满意度指标 z 为为 1 的编号有的编号有 2,4,5,7,10 共共 5 名；居住满意度指标名；居住满意度指标 z 为为 2 的编号有的编号有 1,3,6,8 共共 4 名名. 从从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人， 所有可能的结果为人， 所有可能的结果为 C 45(种种)， 这， 这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 2 10 相同的结果为相同的结果为 C C 10616(种种)，所以在这，所以在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，这人，这 2 人的居住人的居住 2 52 4 满意度指标满意度指标 z 相同的概率为相同的概率为 P(A). 16 45 (2)计算计算 10 名被调查者的综合指标，可列下表：名被调查者的综合指标，可列下表： 人员编号人员编号12345678910 综合指标综合指标4462453513 其中居住满意度为一级的编号有其中居住满意度为一级的编号有 1,2,3,5,6,8 共共 6 名，则名，则 m 的值可能为的值可能为 4,5,6；居住满意度 不是一级的编号有 ；居住满意度 不是一级的编号有 4,7,9,10 共共 4 名，则名，则 n 的值可能为的值可能为 1,2,3，所以随机变量，所以随机变量 X 所有可能的取值 为 所有可能的取值 为 1,2,3,4,5. P(X1) ， ， C1 3·C1 2 C1 6·C1 4 1 4 P(X2)， C1 3·C1 1C1 2·C1 2 C1 6·C1 4 7 24 P(X3)， C1 3·C1 1C1 2·C1 1C1 1·C1 2 C1 6·C1 4 7 24 P(X4) ， ， C1 1·C1 1C1 2·C1 1 C1 6·C1 4 1 8 P(X5)， C1 1·C1 1 C1 6·C1 4 1 24 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为 X12345 P 1 4 7 24 7 24 1 8 1 24 E(X)1× × 2××3××4× × 5××. 1 4 7 24 7 24 1 8 1 24 29 12 关关键 键点 点拨 拨 本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是： (1)快速了解“无关信息”快速了解“无关信息”(如本例第一句话如本例第一句话)； (2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母如本例字母 x，y，z， 所指什么所指什么)； (3)明确题目所求内容明确题目所求内容. 图表关图表关会转换信息，建解题模型会转换信息，建解题模型 例2 例2 (2019·石家庄质检石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通若普通6座以下私家车 投保交强险第一年的费用 座以下私家车 投保交强险第一年的费用(基准保费基准保费)统一为统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制， 保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就 越高，具体浮动情况如下表： 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制， 保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就 越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素浮动因素浮动比率浮动比率 A1上一个年度未发生有责任道路交通事故上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0% A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上浮 10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮上浮 30% 某机构为了研究某一品牌普通某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三 年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 辆车龄已满三 年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型类型A1A2A3A4A5A6 数量数量105520155 以这以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，a950.记记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望；的分布列与数学期望；(数学期望值 保留到个位数字 数学期望值 保留到个位数字) (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费 的车辆记为事故车 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费 的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损假设购进一辆事故车亏损 5 000 元，一辆非事故车盈利元，一辆非事故车盈利 10 000 元：元： 若该销售商购进三辆若该销售商购进三辆(车龄已满三年车龄已满三年)该品牌二手车， 求这三辆车中至多有一辆事故车的 概率； 该品牌二手车， 求这三辆车中至多有一辆事故车的 概率； 若该销售商一次购进若该销售商一次购进 100 辆辆(车龄已满三年车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 解 解 (1)由题意可知，由题意可知，X 的可能取值为的可能取值为 0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a. 由统计数据可知：由统计数据可知： P(X0.9a) ， ，P(X0.8a)，P(X0.7a)， 1 6 1 12 1 12 P(Xa) ， ，P(X1.1a) ， ，P(X1.3a). 1 3 1 4 1 12 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3a P 1 6 1 12 1 12 1 3 1 4 1 12 所以所以 E(X)0.9a× × 0.8a××0.7a××a× × 1.1a× × 1.3a×× 1 6 1 12 1 12 1 3 1 4 1 12 11.9a 12 11 305 12 942. (2)由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ， 三辆车由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ， 三辆车 1 3 中至多有一辆事故车的概率为中至多有一辆事故车的概率为 P 3 C × ×× × 2 . ( ( 11 3) ) 1 3 1 3 ( ( 2 3) ) 20 27 设设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为的可能取值为5 000,10 000. 所以所以 Y 的分布列为的分布列为 Y5 00010 000 P 1 3 2 3 所以所以 E(Y)(5 000)× × 10 000× × 5 000，所以该销售商一次购进，所以该销售商一次购进 100 辆辆(车龄已满三车龄已满三 1 3 2 3 年年)该品牌的二手车获得利润的期望值为该品牌的二手车获得利润的期望值为 100××E(Y)500 000 元元. 关关键 键点 点拨 拨 概率与统计问题的考查离不开图表概率与统计问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)， 解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题 的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题 ， 解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题 的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题. 计算关计算关重计算能力，防不慎失分重计算能力，防不慎失分 例 3 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的例 3 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的 1 000 名男生和名男生和 800 名女 生中按分层抽样的方法抽取 名女 生中按分层抽样的方法抽取 45 名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课 余参加体育锻炼时间的情况分三类： 名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课 余参加体育锻炼时间的情况分三类：A 类类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间 超过 课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间 超过 3 小时小时)，B 类类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 3 小时小时)，C 类类 (课余不参加体育锻炼课余不参加体育锻炼)，调查结果如表：，调查结果如表： A 类类B 类类C 类类 男生男生18x3 女生女生810y (1)求出表中求出表中 x，y 的值；的值； (2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前 提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过 的前 提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过 3 小时与性别有关小时与性别有关. 男生男生女生女生总计总计 A 类类 B 类和类和 C 类类 总计总计 (3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选 取三人中男女都有且男生比女生多的概率 在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选 取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附：附：K2，其中，其中 nabcd. n ad bc 2 a b cd ac b d P(K2k0)0.100.050.01 k02.7063.8416.635 解 解 (1)由题意， ，由题意， ，21x18y45， 21 x 18 y 5 4 x4，y2. (2)2××2 列联表如下所示：列联表如下所示： 男生男生女生女生总计总计 A 类类18826 B 类和类和 C 类类71219 总计总计252045 K24.6643.841， 45 ×× 18 ×× 127 × × 8 2 25 ×× 20 ×× 26 ×× 19 能在犯错误的概率不超过能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻 炼的时间超过 的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻 炼的时间超过 3 小时与性别有关小时与性别有关. (3)在抽取的样本中， 从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取在抽取的样本中， 从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取 3 人进一步了解情况， 有人进一步了解情况， 有 C 10 种情况， 选取三人中男女都有且男生比女生多， 有种情况， 选取三人中男女都有且男生比女生多， 有 C C 6 种情况， 故所求概率为种情况， 故所求概率为0.6. 3 52 31 2 6 10 关关键 键点 点拨 拨 (1)本例在计算本例在计算 K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中 n，a，b，c，d 所表示的 值 所表示的 值. (2)利用最小二乘法求“ ”时，应注意避免计算出错利用最小二乘法求“ ”时，应注意避免计算出错. b