2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章 第五节 概率与统计 大题增分策略 第二课时 高考命题“三交汇”（高考怎么考） Word版含答案.pdf
第二课时 高考命题“三交汇”第二课时 高考命题“三交汇”(高考怎么考高考怎么考) 考考法法一一 概概率率模模块块内内知知识识交交汇汇命命题题 典例 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“典例 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33”的构成模式，第一个”的构成模式，第一个“3” 是语文、数学、外语，每门满分是语文、数学、外语，每门满分 150 分，第二个分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、 化学、生物 由考生在思想政治、历史、地理、物理、 化学、生物 6 个科目中自主选择其中个科目中自主选择其中 3 个科目参加等级性考试，每门满分个科目参加等级性考试，每门满分 100 分，高考录取 成绩卷面总分满分 分，高考录取 成绩卷面总分满分 750 分分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学 生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学 生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 S，从学生群体，从学生群体 S 中 随机抽取了 中 随机抽取了 50 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表： 选考物理、化学、生物的科目数选考物理、化学、生物的科目数123 人数人数52520 (1)从所调查的从所调查的 50 名学生中任选名学生中任选 2 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概 率； 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概 率； (2)从所调查的从所调查的 50 名学生中任选名学生中任选 2 名，记名，记 X 表示这表示这 2 名学生选考物理、化学、生物的科目 数量之差的绝对值，求随机变量 名学生选考物理、化学、生物的科目 数量之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； (3)将频率视为概率，现从学生群体将频率视为概率，现从学生群体 S 中随机抽取中随机抽取 4 名学生，记其中恰好选考物理、化学、 生物中的两科目的学生数记作 名学生，记其中恰好选考物理、化学、 生物中的两科目的学生数记作 Y，求事件“，求事件“Y2”的概率”的概率. 解 解 (1)记“所选取的记“所选取的 2 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 A， 则则 P(A)， C2 5C 2 25 C2 20 C 2 50 20 49 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 1P(A). 29 49 (2)由题意可知由题意可知 X 的可能取值分别为的可能取值分别为 0,1,2. 由由(1)知，知，P(X0)， 20 49 又又 P(X1)，P(X2)， C1 5C 1 25 C1 20C 1 25 C 2 50 25 49 C1 5C 1 20 C 2 50 4 49 从而从而 X 的分布列为的分布列为 X012 P 20 49 25 49 4 49 E(X)0××1××2××. 20 49 25 49 4 49 33 49 (3)所调查的所调查的 50 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有 25 名，相应的频率为名，相应的频率为 p ， ， 25 50 1 2 由题意知，由题意知，YB， ( ( 4， ，1 2) ) 所以事件“所以事件“Y2”的概率为”的概率为 P(Y2)C 22 C 3 C 4 . 2 4 ( ( 1 2) ) ( (1 1 2) ) 3 4 ( ( 1 2) ) ( (1 1 2) ) 4 4 ( ( 1 2) ) 11 16 解解题 题技技法法 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交 汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问 题所属的事件类型是关键 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交 汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问 题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件特别是要注意挖掘题目中的隐含条件. 过关训练过关训练 (2018·聊城模拟聊城模拟)2016 年微信用户数量统计显示， 微信注册用户数量已经突破年微信用户数量统计显示， 微信注册用户数量已经突破 9.27 亿亿.微信 用户平均年龄只有 微信 用户平均年龄只有 26 岁，岁，97.7%的用户在的用户在 50 岁以下，岁以下，86.2%的用户在的用户在 1836 岁之间岁之间.为调查 大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取 为调查 大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取 100 位同 学进行了抽样调查，结果如下： 位同 学进行了抽样调查，结果如下： 微信群数量微信群数量频数频数频率频率 0 至至 5 个个00 6 至至 10 个个300.3 11 至至 15 个个300.3 16 至至 20 个个ac 20 个以上个以上5b 合计合计1001 (1)求求 a，b，c 的值；的值； (2)若从若从 100 位同学中随机抽取位同学中随机抽取 2 人，求这人，求这 2 人中恰有人中恰有 1 人微信群个数超过人微信群个数超过 15 个的概率；个的概率； (3)以这以这 100 个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生 中随机抽取 个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生 中随机抽取 3 人， 记人， 记 X 表示抽到的是微信群个数超过表示抽到的是微信群个数超过 15 个的人数， 求个的人数， 求 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 E(X). 解：解：(1)由已知得由已知得 03030a5100，解得，解得 a35， b0.05，c0.35. 5 100 35 100 (2)记“这记“这 2 人中恰有人中恰有 1 人微信群个数超过人微信群个数超过 15 个”为事件个”为事件 A，则，则 P(A)， C 1 40C1 60 C 2100 16 33 所以这所以这 2 人中恰有人中恰有 1 人微信群个数超过人微信群个数超过 15 个的概率为个的概率为. 16 33 (3)依题意可知，微信群个数超过依题意可知，微信群个数超过 15 个的概率为个的概率为 P . 2 5 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3. 则则 P(X0) 3 ， ( ( 12 5) ) 27 125 P(X1)C 12 ， 1 3 ( ( 2 5) ) ( (1 2 5) ) 54 125 P(X2)C 2·1 ， 2 3 ( ( 2 5) ) ( (1 2 5) ) 36 125 P(X3) 3 . ( ( 2 5) ) 8 125 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 数学期望数学期望 E(X)0××1××2××3×× . 27 125 54 125 36 125 8 125 6 5 考考法法二二 概概率率与与统统计计、 、统统计计案案例例的的交交汇汇命命题题 典例 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全 校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合 格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格” 记 典例 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全 校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合 格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格” 记 5 分，“不合格”记分，“不合格”记 0 分分.现随机抽取部分学生的答卷，统计 结果及对应的频率分布直方图如图 现随机抽取部分学生的答卷，统计 结果及对应的频率分布直方图如图. 等级等级不合格不合格合格合格 得分得分20,40)40,60)60,80)80,10080,100 频数频数6a24b (1)求求 a，b，c 的值；的值； (2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行 座谈 人进行 座谈.现再从这现再从这 10 人中任选人中任选 4 人，记所选人，记所选 4 人的量化总分为，求的数学期望人的量化总分为，求的数学期望 E()； (3)某评估机构以指标某评估机构以指标 M来评估该校安全教育活动的成来评估该校安全教育活动的成 ( ( M E D ， ，其 其中中D 表表示示的的方方差差 ) ) 效效.若若 M0.7，则认定教育活动是有效的 ； 否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案，则认定教育活动是有效的 ； 否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在在(2) 的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 解 解 (1)由题知， 样本容量为由题知， 样本容量为60， b60××(0.01××20)12， a6061224 6 0.005 ×× 20 18，c0.015. 18 60 ×× 20 (2)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈，其中“不合格” 的学生人数为× 人进行座谈，其中“不合格” 的学生人数为×104，“合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为 1046. 24 60 由题意可得的所有可能取值为由题意可得的所有可能取值为 0,5,10,15,20. P(0)， P(5)， P(10)， P(15) C4 4 C 4 10 1 210 C3 4C1 6 C 4 10 24 210 C2 4C2 6 C 4 10 90 210 C1 4C3 6 C 4 10 ，P(20). 80 210 C4 6 C 4 10 15 210 所以的分布列为所以的分布列为 05101520 P 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210 E()05××10××15××20××12. 24 210 90 210 80 210 15 210 (3)D() (0 12)2×× (5 12)2×× (10 12)2×× (15 12)2×× (20 1 210 24 210 90 210 80 210 12)2××16.所以所以 M0.750.7，则认定教育活动是有效的，则认定教育活动是有效的 15 210 E D 12 16 在在(2)的条件下，可知该校不用调整安全教育方案的条件下，可知该校不用调整安全教育方案. 解解题 题技技法法 (1)概率常与随机抽样、双图概率常与随机抽样、双图(频率分布直方图、茎叶图频率分布直方图、茎叶图)、统计、独立性检验、离散型随机 变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率 、统计、独立性检验、离散型随机 变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率. (2)当题目中出现“在条件当题目中出现“在条件(前提前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率 ； 若无上述 字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率 下”等字眼时，所求概率一般为条件概率 ； 若无上述 字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率.条件概率的公式需记牢， 易混淆事件 条件概率的公式需记牢， 易混淆事件 A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲 每局获胜的概率皆为 ，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制 也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲 每局获胜的概率皆为 ，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制.已知第一局乙获胜，已知第一局乙获胜， 2 3 求甲获胜的概率求甲获胜的概率.”易得甲获胜的概率”易得甲获胜的概率 P 3 × ×C 2× × . ( ( 2 3) ) 2 3 2 3 ( ( 2 3) ) 1 3 16 27 过关训练过关训练 (2019·湘东五校联考湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量已知具有相关关系的两个变量 x，y 之间的几组数据如下表所示：之间的几组数据如下表所示： x246810 y3671012 (1)请根据上表数据在图中绘制散点图；请根据上表数据在图中绘制散点图； (2)请根据上表提供的数据， 求出请根据上表提供的数据， 求出 y 关于关于 x 的线性回归方程 的线性回归方程 x ， 并估计当 ， 并估计当 x20 时时 yy b a 的值；的值； (3)将表格中的数据看作将表格中的数据看作5个点的坐标， 则从这个点的坐标， 则从这5个点中随机抽取个点中随机抽取3个点， 记落在直线个点， 记落在直线2xy 40 右下方的点的个数为，求的分布列及数学期望右下方的点的个数为，求的分布列及数学期望. 参考公式： ， 参考公式： ， .b n i1 xiyinx y n i1 x2 inx2 a yb x 解：解：(1)散点图如图所示散点图如图所示. (2)依题意得， ×依题意得， ×(246810)6，x 1 5 × ×(3671012)7.6，y 1 5 4163664100220， 5 i1 x2 i iyi 6244280120272， 5 i1 x 1.1，b 5 i1 xiyi5x y 5 i1 x2 i5x2 2725 ×× 6 ×× 7.6 2205 ×× 62 所以 所以 7.61.1××61，a 所以线性回归方程为所以线性回归方程为 1.1x1，y 故当故当 x20 时， 时， 23.y (3)可以判断，落在直线可以判断，落在直线 2xy40 右下方的点的坐标满足右下方的点的坐标满足 2xy40， 所以符合条件的点的坐标为所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)， 故的所有可能取值为故的所有可能取值为 1,2,3. P(1)，P(2) ， ，P(3)， C2 2C1 3 C3 5 3 10 C1 2C2 3 C3 5 6 10 3 5 C3 3 C3 5 1 10 故的分布列为故的分布列为 123 P 3 10 3 5 1 10 E()1××2× × 3×× . 3 10 3 5 1 10 9 5 考考法法三三 概概率率与与函函数数、 、方方程程、 、不不等等式式的的交交汇汇命命题题 典例 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅 为单位 典例 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅 为单位(一套住宅为一户一套住宅为一户). 阶梯级别阶梯级别第一阶梯第一阶梯第二阶梯第二阶梯第三阶梯第三阶梯 月用电范围月用电范围/度度(0,210(210,400(400，) 某市随机抽取某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下：户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号居民用电户编号12345678910 用电量用电量/度度538690124132200215225300410 (1)若规定第一阶梯的电价为每度若规定第一阶梯的电价为每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三 阶梯超出第二阶梯的部分每度 元，第三 阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算元，试计算 A 居民用电户用电居民用电户用电 410 度时应交电费多少元？度时应交电费多少元？ (2)现要在这现要在这 10 户家庭中任意抽取户家庭中任意抽取 3 户， 求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学 期望； 户， 求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学 期望； (3)以表中抽到的以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取 10 户，若抽到户，若抽到 k 户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值的值. 解 解 (1)210××0.5(400210)××0.6(410400)××0.8227(元元). (2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为设抽到用电量为第二阶梯的户数为.由题意知， 用电量为第二阶梯的用户有由题意知， 用电量为第二阶梯的用户有 3 户， 则户， 则 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3， P(0)，P(1)， C3 7 C 3 10 7 24 C2 7C1 3 C 3 10 21 40 P(2)，P(3). C1 7C2 3 C 3 10 7 40 C3 3 C 3 10 1 120 故的分布列为故的分布列为 0123 P 7 24 21 40 7 40 1 120 所以所以 E()0××1××2××3××. 7 24 21 40 7 40 1 120 9 10 (3)由题意知，从全市中抽取由题意知，从全市中抽取 10 户，用电量为第一阶梯的户数户，用电量为第一阶梯的户数 X 满足满足 XB，可知，可知 ( ( 10， ，3 5) ) P(Xk)C k10k(k 0,1,2,3，10). k 10 ( ( 3 5) ) ( ( 2 5) ) 由由Error!Error! 解得解得k，kN*. 28 5 33 5 所以当所以当 k6 时，概率最大，即抽到时，概率最大，即抽到 6 户的用电量为第一阶梯的可能性最大户的用电量为第一阶梯的可能性最大. 变 变式 式发 发散散 1.(变设问变设问)其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量 n(nN)的函数解析式的函数解析式 f(n). 解：因为当解：因为当 0n210 时，时，f(n)0.5n； 当当 210n400 时，时，f(n)210××0.5(n210)××0.60.6n21； 当当 n400 时，时，f(n)210××0.5(400210)××0.6(n400)××0.80.8n101， 所以所以 f(n)Error!Error! 2.设甲投球命中的概率为设甲投球命中的概率为 p. (1)考查不等式如果甲一共投球考查不等式如果甲一共投球 4 次， 甲恰好投中次， 甲恰好投中 2 次的概率不大于其恰好投中次的概率不大于其恰好投中 3 次的概 率，试求 次的概 率，试求 p 的取值范围的取值范围. 解：由解：由 C ·p2·(1p)2C ·p3·(1p)，0p1，解得 ，解得 p1，故，故 p 的取值范围为的取值范围为. 2 43 4 3 5 3 5， ，1) ) (2)考查基本不等式如果甲一共投球考查基本不等式如果甲一共投球 6 次，那么甲恰好命中次，那么甲恰好命中 3 次的概率可能是 吗？次的概率可能是 吗？ 1 3 解：不可能解：不可能.P(X3)C ·p3·(1p)3 3 6 20 3 . ( ( p1 p 2 ) ) 2 5 16 1 3 (3)与导数交汇记甲与导数交汇记甲 3 次投球中恰有次投球中恰有 2 次投中的概率为次投中的概率为 q，则当，则当 p 取何值时，取何值时，q 最大？最大？ 解：由题意知解：由题意知 qC ·p2·(1p)3p33p2,0p1，则，则 q9p26p3p(3p2)， 2 3 易知在上易知在上 q3p33p2为增函数，在上为增函数，在上 q3p33p2为减函数，故当为减函数，故当 p 时， 时，q ( ( 0， ，2 3) ) ( ( 2 3， ，1) ) 2 3 取得最大值取得最大值. 过关训练过关训练 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获得利润该产品获得利润 500 元，未售 出的产品， 每 元，未售 出的产品， 每 1 t 亏损亏损 300 元元.根据历史资料， 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如 图所示 根据历史资料， 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如 图所示.经销商为下一个销售季度购进了经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品该农产品.以以 X(单位：单位：t,100X150)表示下一 个销售季度内的市场需求量， 表示下一 个销售季度内的市场需求量，T(单位：元单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将将 T 表示为表示为 X 的函数；的函数； (2)根据直方图估计利润根据直方图估计利润 T 不少于不少于 57 000 元的概率；元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如 ： 若需求量例如 ： 若需求量 X100,110)， 则取， 则取 X105， 且， 且 X 105 的概率等于需求量落入的概率等于需求量落入100,110)的频率的频率)，求，求 T 的均值的均值. 解：解：(1)当当 X100,130)时，时， T500X300(130X)800X39 000. 当当 X130,150时，130,150时，T500××13065 000. 所以所以 TError!Error! (2)由由(1)知利润知利润 T 不少于不少于 57 000 元当且仅当元当且仅当 120X150 时时.由直方图知需求量由直方图知需求量 X 120,150的频率为 120,150的频率为0.7， 所以下一个销售季度内的利润， 所以下一个销售季度内的利润T不少于不少于57 000元的概率的估计值为元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得依题意可得 T 的分布列为的分布列为 T45 00053 00061 00065 000 P0.10.20.30.4 所以所以 E(T)45 000××0.153 000××0.261 000××0.365 000××0.459 400.
