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时间: 14周星期五16:00 18:00(7-8节) (2011年12月2日) 地点: 南教300石工1010-13;,考试安排,答疑安排,时间: 14周 星期二15:00 16:30 星期三15:00 16:30 星期四15:00 16:30 星期五8:00 10:00 地点: 南堂112,复 习 要 点,第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算 第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质 第三章 向量的线性相关性讨论、用矩阵的初等变 换解题、矩阵及向量组的秩的讨论 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结构的讨论 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别 第六章 子空间，基，维数与坐标，基变换与坐标 变换，线性变换及其矩阵表示,线性代数中的 “一、二、三、四、五、六”,一种基本运算： 矩阵的初等变换。 两大主线： 向量与矩阵。 三种矩阵关系： 等价、相似、合同。 四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵； 3. 相似变换; 4. 特征值和特征向量的讨论. 五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。 六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。,一、填空,1、6 阶行列式中项,的符号为 。,+,2、已知向量组,线性相关。则t= 。,3,3、设A，B同为 n 阶矩阵，,。,4、设,= 。,5、设向量组,等价，且,线性无关，则 r 与 t 间满足 。,。,7、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 。,2，- 4，8,9、若二次型,是正定的，则t的取值范围是 。,10、若n阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为a, 则数 一 定是矩阵 的特征值。,.,8、设,则矩阵A的秩R(A)=,05年考研题,.,2,例 1,补充例题,04年考研题,.,1/9,例 2,解,例3 设 An 为 n 阶行列式, 证明 A1 ,A2， An , 是一 个等差数列，并由此求出 An .,即,所以等差数列的首项为2，公差为1，由此可得,证,例 4,5 设有方程组,问为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个 解？并在有无穷多个解时求其通解。,解 增广矩阵,当= 4时，,因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。,同解方 程组为：,通解 为：,故当4且1时，方程组有唯一解。,当= 1时，,因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。,综上：,解 1）,故向量组的秩,解2）,为3，且,为一个最大无关组,2）求向量组,的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关 组线性表示。,补充例题,再分别用（*）减去题中每一个等式，可得,证：由题设,线性无关，而,线性相关，从而,线性表示。故可设,现设,即,线性无关。,9. 设 为线性方程组 的 一个基础解系，,其中 为实常数。试问 满足什么关系时，,也为,的一个基础解系。,（2001年考研题 ）,补充例题,设,（）,由于 线性无关，因此有,例10,易求得正交阵,例 11,.,02年考研题,2,由于正交变换保持向量的长度不变，故,证 设A 的特征值为,由定理10知，存在正交变换,设,则,故,证毕,(教材P2第3题),作 业 题 讲 解,2（P11第3题（2）计算行列式,解法 1 （递推法）按最后一行拆项，建立递推公式,解法 2 （加边法）,解法 3 （提取公因子）,此为典型字 母行列式。,解,P10第3题(3),3 计算,P17第2(2)题,解法1 （递推法）按第一列展开，建立递推公式,4 证明,解法2 （消元法）,证 记,易知 F(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，,设 为a, b上的连续可导函数，试证明 存在一点 使得行列式,设 为a, b上的连续可导函数，试证明 存在一点 使得行列式,由罗尔定理知 ，存在一点 使得,注意到,故得所欲证。,证 设,（教材P59例21）,试证,则A，B的标准形分别为,即存在可逆矩阵 使,于是,（教材P59例21）,试证,于是,证 将方程组记为,（教材P46习题 2(1)）,解矩阵方程,由A可逆，故有,于是,注意 只能左乘， 的求法。,1 设 ，且AB=A+2B，求 B 。,见P71 习题4,解 由 AB=A+2B，得,作业题讲解,补充例题,(2) 设A是3 阶方阵，A*是A的伴随矩阵， 求行列式 的值。( P65第1题 ),4 (1)设A，B同为 n 阶矩阵，,。,解,(2) 设A是3 阶方阵，A*是A的伴随矩阵， 求行列式 的值。,2. (P59习题4) 设方阵A满足 ， 证明 A 及A+2E都可逆,并求 。,要证A可逆，只要证存在矩阵B，使AB=E即可。,分析：,作业题讲解,设方阵A满足 ，证明 A 及A+2E都可逆,并求 。,证,P79第4题,解 必要性由定理7（初等变换不改变矩阵的秩）立得。,作 业 题 讲 解,充分性 设R(A)=R(B).,由等价关系的传递姓，知A与B等价。,P92第3题,解 设有,作 业 题 讲 解,证 设有,（教材P75第 2 题）,设向量组,线性无关，证明向量组,线性无关。,即,作 业 题 讲 解,(P99第 1题),证法 1,证法 2 (矩阵形式)(不妨设为列向量的情形),证法 3,用到了 题设条 件。,(P99第 2题),证,充分性： 由第 1 题即知；,必要性：,证 由于A组、B组皆可由C 组线性表示，故有,例8 (P104第1题) 设向量组A： 的秩为 r1 ，向量组B： 的秩为 r2 ，向量组 C： 的秩为 r3，证明：,下证,当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。,从而，,补充例题,于是C组中任一向量可由,在 r10，r20时，可不妨设：,是A组的最大无关组,是B组的最大无关组,线性表示，从而,例8 (P104第1题) 设向量组A： 的秩为 r1 ，向量组B： 的秩为 r2 ，向量组 C： 的秩为 r3，证明：,答 应选 B).,例 9,04年考研题,（P104第4题）,为 R3 的一个基, 并把 用这个基线性表示。,解 构造矩阵 A且作初等 行变换,故知,的一个基，且,作 业 题 讲 解,为,9. 设 为线性方程组 的 一个基础解系，,其中 为实常数。试问 满足什么关系时，,也为,的一个基础解系。,（2001年考研题 ）,补充例题,设,（）,由于 线性无关，因此有,（教材P113 第2题）证明与基础解系等价的线性无关的向 量组也是基础解系。,证,由等价组等秩以及 线性无关，知,（教材P113 第2题）证明与基础解系等价的线性无关的向 量组也是基础解系。,证,由等价组等秩以及 线性无关，知,基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 试证明向量组 线性无关。,设向量,是齐次线性方程组 Ax=0 的一个,教材P95 第4题,证：,设有,两边用 A 左乘，注意到 ，得,于是知,故向量组 线性无关。,由于,代回(*)中，得,基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 试证明向量组 线性无关。,设向量,是齐次线性方程组 Ax=0 的一个,设 是非齐次线性方程组,的一个解，,是对应齐次线性方程组的一个基础,教材P100 第5题,解系，证明：,线性无关；,证：,线性无关。,线性表出,由(1)知：,2）设有,补充例题,再分别用（*）减去题中每一个等式，可得,证：由题设,线性无关，而,线性相关，从而,线性表示。故可设,现设,即,线性无关。,由于,证 设 为A的特征值，即存在非零向量,故,即A 的特征值全为零。,补充例题,4 (P121第2题) 设三阶实对称矩阵A的特征值为6, 3, 3, 与特征值6对应的特征向量为p1 =(1 1 1)T , 求A。,解 先求出与 3 对应的特征向量，由A的不同特征值所 对应的特征向量正交，考虑方程组：,取基础解系,补充例题,正交化,单位化,(P152第2题),构造正交矩阵,满足：,于是,02年考研题,5,