2019数学·选修2-2（人教A版）练习：第二章2.2-2.2.1综合法与分析法 Word版含解析.pdf

第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法综合法与分析法 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1已知已知 A，B 为为ABC 的内角，则的内角，则 AB 是是 sin Asin B 的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：由正弦定理，又由正弦定理，又 A，B 为三角形的内角，为三角形的内角， a sin A b sin B 所以所以sin A0， sin B0， 所以， 所以sin Asin B2Rsin A2Rsin Bab AB. 答案：答案：C 2设设 0xa，所以，所以 a0，b0 且且 ab(ab)1，则，则( ) Aab2(1) Bab122 Cab(1)2 Dab2(1)22 解析：解析：由条件知由条件知 abab11， ( ab 2 ) 2 令令 abt，则，则 t0，且，且 t 1， t2 4 解得解得 t22 . 2 答案：答案：A 二、填空题二、填空题 6命题“函数命题“函数 f(x)xxln x 在区间在区间(0，1)上是增函数”的证明过 程 “对函数 上是增函数”的证明过 程 “对函数f(x)xxln x求导， 得求导， 得f(x)ln x， 当， 当x(0， 1)时，时， f(x) ln x0，故函数，故函数 f(x)在区间在区间(0，1)上是增函数”应用了上是增函数”应用了_的证 明方法 的证 明方法 答案：答案：综合法综合法 7将下面用分析法证明将下面用分析法证明ab 的步骤补充完整：的步骤补充完整： a2b2 2 要 证要 证 ab， 只 需 证， 只 需 证a2 b2 2ab， 也 就 是 证， 也 就 是 证 a2b2 2 _， 即证， 即证_， 由于， 由于_显然成立， 因此原不等式成立 显然成立， 因此原不等式成立 答案：答案：a2b22ab0 (ab)20 (ab)20 8设设 a0，b0，c0，若，若 abc1，则 的最小值为，则 的最小值为 1 1 a a 1 1 b b 1 1 c c _ 解析：解析：根据条件可知，欲求 的最小值根据条件可知，欲求 的最小值 1 1 a a 1 b 1 1 c c 只需求只需求(abc)的最小值，的最小值， ( 1 1 a a 1 b 1 c) 因为因为(abc) ( 1 1 a a 1 b 1 c) 332229(当且仅当当且仅当 abc 时时 ( b b a a a b) ( c c a a a c) ( c c b b b c) 取“”取“”) 答案：答案：9 三、解答题三、解答题 9(1)用综合法证明：若用综合法证明：若 a0，b0，求证：，求证：(ab)·4； ( 1 a 1 b) (2)用分析法证明：已知用分析法证明：已知 a0，求证：，求证： a 2. a2 1 a2 2 1 a 证明：证明：(1)因为因为 a0，b0，所以，所以 ab2，ab 2， 1 a 1 b 1 ab 所以所以(ab)2·24. ( 1 a 1 b) ab 1 ab 当且仅当当且仅当 ab， 时，等号成立，所以， 时，等号成立，所以(ab)( )4. 1 a 1 b 1 a 1 b (2)要证要证 a 2， a2 1 a2 2 1 a 只需证只需证 2a . a2 1 a2 1 a 2 因为因为 a0，只需证，只需证， ( a2 1 a2 2)2 (a 1 a 2)2 即即 a244a224， 1 a2 a2 1 a2 1 a2 2(a1 a) 只需证只需证 2， a2 1 a2 2(a1 a) 只需证只需证 42， (a 2 1 a2) (a 2 2 1 a2) 即即 a22， 1 a2 而上述不等式显然成立，故原不等式成立而上述不等式显然成立，故原不等式成立 10.如图所示，如图所示，SA平面平面 ABC，ABBC，过点，过点 A 作作 SB 的垂线， 垂足为 的垂线， 垂足为 E，过点，过点 E 作作 SC 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 F.求证：求证：AFSC. 证明：证明：要证要证 AFSC，而，而 EFSC，故只需证，故只需证 SC平面平面 AEF， 只需证只需证 AESC，而，而 AESB， 故只需证故只需证 AE平面平面 SBC， 只需证只需证 AEBC，而，而 ABBC， 故只需证故只需证 BC平面平面 SAB，只需证，只需证 BCSA. 由由 SA平面平面 ABC 可知，可知，SABC，即上式成立，即上式成立， 所以所以 AFSC 成立成立 B 级 能力提升级 能力提升 1 若 若 abc， 则函数， 则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(x a)的两个零点分别位于区间的两个零点分别位于区间( ) A(a，b)和和(b，c)内内 B(，a)和和(a，b)内内 C(b，c)和和(c，)内内D(，a)和和(c，)内内 解析 ：解析 ： 因为因为abc， 所以， 所以f(a)(ab)(ac)0， f(b)(bc)(ba) 0，f(c)(ca)(cb)0，由零点存在性定理知，选项，由零点存在性定理知，选项 A 正确正确 答案：答案：A 2分析法又称执果索因法，在证明“设分析法又称执果索因法，在证明“设 abc，且，且 abc0， 求证 ， 求证0 (ac)(2ac)0 (a c)(ab)0. 答案：答案：(ac)(ab)0 3ABC 的三个内角的三个内角 A，B，C 成等差数列，成等差数列，A，B，C 的对边分 别为 的对边分 别为 a，b，c.求证：求证：. 1 1 a ab 1 1 b bc 3 3 a abc 证明：证明：要证，要证， 1 1 a ab 1 1 b bc 3 3 a abc 只需证只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 即证即证 c2a2acb2. 因为因为ABC 的三个内角的三个内角 A，B，C 成等差数列，故成等差数列，故 B60°，°， 由余弦定理，得由余弦定理，得 b2c2a22accos 60°，°， 即即 b2c2a2ac，即，即 c2a2acb2， 所以原式得证所以原式得证