三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题05立体几何（选择题、填空题）理（含解析）.pdf

1 专题 05 立体几何（选择题、填空题）专题 05 立体几何（选择题、填空题） 1 【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长 为 2 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90°，则球O的体积为 AB 6864 CD 626 【答案】D 【解析】解法一：为边长为 2 的等边三角形，为正三棱锥，,PAPBPCABCPABC ，又，分别为，的中点，又，PBACEFPAABEFPBEFACEFCE 平面，平面，,CEACCEFPACPB PAC2APBPAPBPC 为正方体的一部分，即PABC22226R ，故选 D 3 6446 6 ,6 2338 RVR 解法二：设，分别为的中点，且，2PAPBPCx,E F,PA ABEFPB 1 2 EFPBx 为边长为 2 的等边三角形，ABC3CF 又，90CEF 2 1 3, 2 CExAEPAx 中，由余弦定理可得，AEC 22 43 cos 2 2 xx EAC x 作于，PDACD ，为的中点，PAPCDAC 1 cos 2 AD EAC PAx 22 431 42 xx xx 2 ， 22 12 212 22 xxx ，2PAPBPC 又，两两垂直，=2AB BC AC,PA PB PC ，故选 D.22226R 6 2 R 3 446 6 6 338 VR 【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到 三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 2【2019 年高考全国卷理数】设，为两个平面，则的充要条件是 A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性 质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的 必要条件，故选 B 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用 面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易 犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误,abab 3 【2019 年高考全国卷理数】 如图， 点N为正方形ABCD的中心， ECD为正三角形， 平面ECD平面ABCD，M 是线段ED的中点，则 3 ABM=EN，且直线BM，EN是相交直线 BBMEN，且直线BM，EN是相交直线 CBM=EN，且直线BM，EN是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交EOCDOON 直线. 过作于，连接，MMFODFBF 平 面平 面，平 面，平 面，平 面CDE ABCD,EOCD EOCDEEOABCDMF ，与均为直角三角形设正方形边长为 2，易知，ABCD MFBEON3,12EOONEN, ，故选 B 35 ,7 22 MFBFBMBMEN 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利 用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 4 【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为 4 祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该柱体的体积（单位：cm3）是 A158B162 C182D324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4， 下底为 6， 高为 3， 另一个的上底为 2， 下底为 6， 高为 3， 则该棱柱的体积为. 2646 336162 22 故选 B. 【名师点睛】 本题首先根据三视图， 还原得到几何体棱柱， 根据题目给定的数据， 计算几何体的体积， 常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正 确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5 【2019 年高考浙江卷】设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端 点） 记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面 角为，则 A0)， 则 13 32 OGx . 3 6 x ， 3 5 6 FGSGx 22 ， 22 22 33 5 66 SOhSGGOxx 3 5 5 3 x 三棱锥的体积. 2 1133 5 5 3343 ABC VShxx 45 153 5 123 xx 设，x0，则， 45 3 5 3 n xxx 34 5 3 20 3 n xxx 令，即，得，易知在处取得最大值. 0n x 4 3 40 3 x x 4 3x n x 4 3x . max 15 48544 15 12 V 【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利 用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数的性质进行解决，当 变量是高次时需要用到求导的方式进行解决. 31【2017 年高考山东卷理数】由一个长方体和两个 1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 体积为. 23 【答案】 2 2 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆的半径为 1,所以 . 2 1 2 1 1212 42 V 【名师点睛】 （1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图 （2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据 推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 32【2017 年高考天津卷理数】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为_ 【答案】 9 2 【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的 a 2 6183aa233Ra 体积 3 4 3 VR 4279 382 【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可 恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱 柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求 球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心 33 【2017 年高考江苏卷】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记 12 OOO 圆柱的体积为，球的体积为，则的值是. 12 OO 1 VO 2 V 1 2 V V 【答案】 3 2 【解析】设球半径为，则故答案为r 2 1 3 2 23 4 2 3 Vrr V r 3 2 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的 24 柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出， 则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 34 【2017 年高考全国卷理数】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成 60°角时，AB与b成 30°角； 当直线AB与a成 60°角时，AB与b成 60°角； 直线AB与a所成角的最小值为 45°； 直线AB与a所成角的最大值为 60°. 其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号） 【答案】 【解析】 设.由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线， 由，1ACBCAB,ACa ACb 又AC圆锥底面， 所以在底面内可以过点B， 作， 交底面圆于点D， 如图所示， 连接DE， 则DEBD，BDaC ， 连接AD， 等腰中，,当直线AB与a成 60°角时， 故DEbABD 2ABAD60ABD ，又在中，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，由 2BD RtBDE2,2BEDE 圆的对称性可知,为等边三角形，即AB与b成 60°角， 2BFDEABF60ABF 正确，错误. 由图可知正确 ； 很明显，可以满足平面ABC直线a，则直线与所成角的最大值为 90°，错误.AB a 故正确的是. 【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问 题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 25 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条 0, 2 异面直线所成的角. （2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.