江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十一空间向量的应用空间角的求法理含解析苏教版.pdf

1 课时跟踪检测（四十一） 空间向量的应用（空间角的求法）课时跟踪检测（四十一） 空间向量的应用（空间角的求法） 一保高考，全练题型做到高考达标 1(2019·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P­ABCD中， PAAB 2，点M，N分别在PA，BD上，且 . PM PA BN BD 1 3 (1)求异面直线MN与PC所成角的大小； (2)求二面角N­PC­B的余弦值 解：(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥P­ABCD中，OP平面ABCD. 又PAAB 2，所以OP. 以O为坐标原点，方向分别为x轴、y轴正方向2DA AB 建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz. 则A(1， 1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1， 1,0)，P(0， 0，)，2 (1,1， )AP 2 故，OM OA AM OA 2 3 AP ( 1 3， 1 3， 2 2 3) ，ON 1 3 OB ( 1 3， 1 3，0) 所以，(1,1，)，MN ON OM (0， 2 3， 2 2 3) PC 2 所以 cos，MN PC · | 3 2 所以异面直线MN与PC所成角的大小为 30°. (2)由(1)知(1,1，)，(2,0,0)，.PC 2CB NC ( 4 3， 2 3，0) 设 m(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量， 则Error!即Error! 令y1，则z11，即 m(0， ，1)22 设 n(x2，y2，z2)是平面PCN的一个法向量， 则Error!即Error! 令x22，则y24，z2，即 n(2,4，)，22 所以 cosm，n， m·n |m|n| 5 2 3 × 22 5 33 33 故二面角N­PC­B的余弦值为. 5 33 33 2(2018· 启东检测 )如图，在四棱锥P­ABCD中，PA 平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45°，PAAD 2，AC1. 2 (1)求二面角A­PC­D的余弦值； (2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为 30°，求AE的长 解：(1)因为PA平面ABCD， 所以PAAD，PAAC， 又因为ACAD，故以A为原点，以AD，AC，AP所在直线为x 轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系A­xyz， 依 题 意 得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B， ( 1 2， 1 2，0) P(0,0,2) (0,1，2)，(2，1,0)PC CD 设平面PCD的法向量 n(x，y，z)， 则Error!即Error! 不妨令z1，可得 n(1,2,1)， 可取平面PAC的法向量 m(1,0,0) 于是 cos m，n. m·n |m|·|n| 1 6 6 6 由图知二面角A­PC­D为锐角， 所以二面角A­PC­D的余弦值为. 6 6 (2)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2 由此得，由(2，1,0)，BE ( 1 2， 1 2，h) CD 故 cos，BE CD · |·| 3 2 1 2h 2 ×5 3 1020h2 所以cos 30°，解得h，即AE. 3 1020h2 3 2 10 10 10 10 3(2019· 南通一调 )如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为矩形，SA 平面ABCD，AB1，ADAS 2，P是棱SD上一点，且SPPD. 1 2 (1)求直线AB与CP所成角的余弦值； (2)求二面角A­PC­D的余弦值 解 ： (1)如图， 分别以AB，AD，SA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空 间直角坐标系A­xyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2) 3 设P(x0，y0，z0)，由，得 (x0，y0，z02) (0,2， 2)，SP 1 3 SD 1 3 所以x00，y0 ，z0 ，则点P的坐标为. 2 3 4 3(0， 2 3， 4 3) 故，(1,0,0)，CP (1， 4 3， 4 3) AB 设直线AB与CP所成的角为， 则 cos . 1 × 1(4 3) × 04 3 × 0 1 2(4 3) 2(4 3) 2 × 1 3 41 41 所以直线AB与CP所成角的余弦值为. 3 41 41 (2)设平面APC的法向量为 m(x1，y1，z1)， 因为，(1,2,0)，AP (0， 2 3， 4 3) AC 所以Error!即Error! 令y12，则x14，z11，m(4，2,1)， 设平面SCD的法向量为 n(x2，y2，z2)， 由于(1,0,0)，(0，2,2)，DC DS 所以Error!即Error! 令y21，则z21，n(0,1,1) 设二面角A­PC­D的大小为(由图可知为锐角)， 所以 cos |cosm，n|， |0 × 41 × 21 × 1| 2 × 21 42 42 所以二面角A­PC­D的余弦值为. 42 42 4.如图，圆锥的高PO4，底面半径OB2，D为PO的中点，E为母 线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFDE. (1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值； (2)求二面角O­DF­E的正弦值 解 ： (1)以O为原点， 底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所 在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz， 则B(0,2,0)， P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,1,2) 设F(x0，y0,0)(x00，y00)，且xy4. 2 02 0 4 则(x0，y01，2)，EF (0,1,0)DE 因为EFDE，则·y010，故y01.EF DE 所以F(，1,0)，(，0，2)，(0，2,2)3EF 3BD 设异面直线EF与BD所成角为， 则 cos . |·| | 4 7 × 2 2 14 7 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为. 14 7 (2)设平面ODF的法向量为n1(x1，y1，z1)， 则Error!即Error! 令x11，得y1，3 则平面ODF的一个法向量为 n1(1，0)3 设平面DEF的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 因为(0,1,0)，(，1，2)，DE DF 3 则Error!即Error! 令x21，得z2， 3 2 则平面DEF的一个法向量为 n2. (1，0， 3 2) 设二面角O­DF­E的平面角为， 则|cos |，所以 sin . |n1·n2| |n1|n2| 1 7 7 7 42 7 即二面角O­DF­E的正弦值为. 42 7 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 (2018· 镇江高三期末考试)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，E 是棱PC的中点 (1)求BE与平面PBD所成角的正弦值； (2)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F­AB­P的正弦 值 解：(1)以，为正交基底建立如图所示的空间直AB AD AP 5 角坐标系A­xyz，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1)， 故(0,1,1)，(1,2,0)，(1,0，2)BE BD PB 设 n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量， 则Error!即Error! 令y1，得x2，z1， 所以 n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量， 设BE与平面PBD所成角为， 于是 sin |cosn，|.BE |n·| |n| 2 6· 2 3 3 所以BE与平面PBD所成角的正弦值为. 3 3 (2)由(1)知(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)BC CP AC AB 由点F在棱PC上，设 (01)CF CP 故(12，22，2)BF BC CF BC CP 由BFAC，得·0，BF AC 因此 2(12)2(22)0，解得 ， 3 4 即.BF ( 1 2， 1 2， 3 2) 设 n1(x1，y1，z1)为平面FAB的法向量， 则Error!即Error! 令z11，得y13， 所以 n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量 易知平面ABP的一个法向量 n2(0,1,0)， 则 cosn1，n2， n1·n2 |n1|n2| 3 10 10 设二面角F­AB­P的平面角为， 即 sin . 10 10 故二面角F­AB­P的正弦值为. 10 10 6