02-3平均数抽样分布(正式).ppt

第二章 概率与理论分布,第三节 平均数抽样分布,研究总体与从中抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容 。对这种关系的研究可从两方面着手： （1)抽样分布：从总体到样本 ，这就是研究抽样分布(sampling distribution)的问题，统计量的概率分布称为抽样分布； （2）统计推断： 从样本到总体，这就是统计推断(statistical inference)问题。,统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理论关系为基础的。为了能正确地利用样本去推断总体，并能正确地理解统计推断的结论，须对样本的抽样分布有所了解。 我们知道，由总体中随机地抽取若干个体组成样本，即使每次抽取的样本含量相等，其统计量(如，S)也将随样本的不同而有所不同，因而样本统计量也是随机变量， 也有其概率分布。我们把统计量的概率分布称为抽样分布。,由总体随机抽样(random sampling)的方法可分为有复置抽样和不复置抽样两种。 复置抽样：指每次抽出一个个体后，这个个体应返回原总体； 不复置抽样：指每次抽出的个体不返回原总体。 对于无限总体，返回与否都可保证各个体被抽到的机会相等。 对于有限总体，就应该采取复置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等。,一、抽样的目的go 二、样本平均数及其分布go 三、样本平均数差数及其分布go 四、t分布go,导言,一、抽样的目的 运用样本推断总体 试验测定所得 样本数据； 试验目的 获得总体信息 因此要研究 样本与总体关系 如何通过对样本数据的分析获得总体信息,总体 ,从总体抽取样本,从样本推断总体,导言,总体 ,从总体抽取样本,从样本推断总体,二、样本平均数及其分布：,许多 Si 形成样本标准差抽样分布。,许多 形成样本平均数抽样分布。由样本平均数构成的总体称为样本平均数的抽样总体。,和一个标准差Si 。,每一个样本有一个样本平均数,样本平均数 抽样分布,二、样本平均数及其分布：,抽样分布总体与原总体有什么关系？ 与 ？ 与 ？ 抽样分布总体与原总体关系如下： 1、样本平均数分布的平均数等于原总体平 2、样本平均数分布的标准差等于原总体标 即,（标准误）,准差除以,均数，即,标 准 误 标 准 误(平均数抽样总体的标准差) 的大小反映样本平均数 的抽样误差的大小，即精确性的高低 。 标准误大，说明各样本平均数 间差异程度大，样本平均数的精确性低。反之， 小，说明各样本平均数 间的差异程度小 ， 样本平均数的精确性高。 的大小与原总体的标准差成正比，与样本含量n的平方根成反比。从某特定总体抽样 ，因为是一常数 ，所以只有增大样本含量才能降低样本平均数 的抽样误差。,注意，样本标准差与样本标准误是既有联系又有区别的两个统计量。二者的区别在于： 样 本 标 准 差 S 是 反 映 样 本中各 观测值 x1 ，x2 ，xn，变 异 程 度大小的一个指标，它的大小说明了 对 该 样本代表性的强弱。 样本标准误是样本平均数 ， ， 的标准差，它是抽样误差的估计值， 其大小说明了样本间变异程度的大小及精确性的高低。,对于大样本资料，常将样本标准差S与样本平均数 配合使用，记为 ±S，用以说明所考察性状或指标的优良性与稳定性。 对于小样本资料，常将样本标准误 与样本平均数 配合使用，记为 ± ， 用 以表示 所考察性状或指标的优良性与 抽样误差的大小。,3、若原分布为正态分布，平均数分布亦为正态分布。 若原分布是非正态分布，当n增大时，平均数分布亦趋向正态分布。 所以n30时，可以认为新分布符合正态分布。,例3-4，某品种葡萄总体，果穗长=30cm，=10.8cm, 随机抽50个果穗，所得样本平均数与相差不超过3cm的概率是多少？ 解：已知U= 查附表3得 P (yU +0.28,以及y U -0.28) =0.78 P (U -0.28y U +0.28) =1-0.78=0.22=22% 以上做法对不对 不对！ 分析：已知、，求 | -|3cm的概率，求样本平均数的信息，算U值须用 ，上面的解答错用 。,？,正确做法： 从样本均数分布规律入手 样本均数分布 解： U= 查附表3得P (yU +1.96,以及y U -1.96) =0.05 P (U -1.96y U +1.96) =1-0.05=0.95,若题目改为某葡萄品种总体，果穗长=30cm，=10.8cm，若从其中抽取50个穗，问50 穗中，长度与相差不超过3cm的果穗共有多少穗？ 解：U= P=0.22=22% 50×0.22=11（穂）,例3-5 某枇杷单果重=30g, =9.6g, 今从中抽取50个 分析：已知总体分布=30，=9.6, 问 解：,的概率是多少？,的概率P？,样本中,果，其平均单果重,查附表3得两尾概率0.46，那么单尾概率=0.46/2=0.23,所以平均单果重小于等于29g的概率为0.23。,若将是题目改成：某枇杷品种平均单果重=30g，=9.6g,问单果重小于29g的概率是多少? 解：U= P（29X30）=0.0398 P(X29)=0.5-0.0398=0.4602,查附表3得两尾概率0.92，那么单尾概率=0.92/2=0.46,所以单果重小于等于29g的概率为0.46。,例：在江苏沛县调查336个平方米小地老虎虫危害情况的结果， =4.37头， =2.63，试问样本容量n=30时，由于随机抽样得到样本平均数 等于或小于4.37的概率为多少？ 查附表2，（u-0.75)=0.2266,即概率为22.66%（属于一尾概率）。因所得概率较大，说明差数-0.36是随机误差，从而证明这样本平均数4.37是有代表性的。相对精确度估计为：,附：变异系数 CV= 用处： （1）比较不同性质、不同单位、平均数相差很远的资料之间的变异情况； （2）在空白试验中作为测定土壤差异的指标（解释空白试验）； （3）在田间试验设计中，作为确定试验小区面积和重复次数的依据。,平均数有没有变异系数？ 反映样本平均数的离散（变异）情况。 每一个 都代表总体平均数， 可是它们之间存在差异。 为什么 因为存在抽样误差。,有。,之间有差异？,是的无偏估计。,是一个样本的平均数，,所以也是抽样误差的反映，即精确度。 因而， 又称为精确度。 越大，精确度越低。 越小，精确度越高。,是,之间差异是抽样误差的反映，,之间差异的估量值，,三、样本平均数差数的分布,总体1 1,总体2 2,三、样本平均数差数的分布：,差数总体概率分布规律 1、差数总体平均数 即差数总体的平均数等于原来两个总体平均数之差。 2、差数总体标准差,3、如果原来两个总体作正态分布，则样本平均数差数 如原两个总体非正态分布（或分布未知）： 1）当n1 、n2均大于30，样本平均数差数 2）当n1 、n2 中有一小于或等于30 时,样本平均数差数（,总体遵从正态分布；,总体遵从正态分布，即,）总体遵从t分布。,附： 不同情况下的变形形式 当平均数来自同一个总体，有1=2=，且n1=n2=n时， 则 当平均数来自不同总体，但是n1=n2=n时， 当平均数来自同一个总体，有1=2=，但n1n2时 则,则,平均数抽样分布 平均数总体平均数 平均数总体标准差 平均数总体遵从什么分布 平均数差数的分布 差数总体平均数 差数总体标准差 差数总体遵从什么分布,五、二项总体的抽样分布,（一）二项总体的分布参数 为了说明二项（0、1）总体的抽样分布特征，以总体内包含5个个体为例，每一个体，y=0,y=1。若总体的变量为：0，1，0，1，1，则总体平均数和方差为： =(0+1+0+1+1)/5=3/5=0.6 2=(0-0.6)2+(1-0.6)2+(0-0.6)2+(1-0.6)2 +(1-0.6)2/5=0.24 = 二项总体的平均数=p，方差为2 =p(1-P)=pq，标准差为=,= 0.49,（二）样本平均数（成数）的抽样分布 从二项总体进行抽样得到样本，样本平均数（成数）的分布为二项式分布，平均数 ，方差 ，标准误 。 （三）样本总和数（次数）的抽样分布 从二项总体进行抽样得到样本，样本总和数（次数）的分布为二项式分布，平均数 ，方差 ，标准误,例、棉田盲椿象为害棉株分为受害株和未受害株。假定调查2000株作为一个总体，受害株为704株。此二项总体中受害率p=35.2%， =0.4776,现从这一总体抽样，以株为单位，用简单随机抽样方法，调查200株棉株，获得74株受害，那么，观察受害率 ，试问样本平均数与总体真值的差数的概率为多少？ p=0.352,差数=0.370-0.352=0.018，样本平均数的标准差为： =0.034。由于样本容量大于30，样本平均数的分布可以看作正态分布，故可以计算正态离差u查出概率. 查附表3，当u=0.53，概率值为0.59，两尾概率为0.59，故样本的受害率为37%有代表性。,第七节 t 分 布,五、t分布 由样本平均数抽样分布的性质知道： 若yN(, 2)， 则 N(, 2/n)。 将随机变量 标准化得： ， 则uN(0,1)。 当总体标准差未知时， 以样本标准差S代替所得到的统计量 记为t。在计算 时，由于采用S来代替，使得t 变量不再服从标准正态分布，而是服从t分布(tdistribution)。它的概率分布密度函数如下：,(4-26) 式中，t的取值范围是（-，+）； df=n-1为自由度。 t分布的平均数和标准差为： t0 (df1)， (df2） (4-27) t分布密度曲线如图4-13 所示，其特点是：,图4-13 不同自由度的t分布密度曲线,1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n 30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n 100时，t分布基本与标准正态分布相同；n时，t 分布与标准正态分布完全一致。,t分布的概率分布函数为： (4-28) 因而t在区间（t1，+）取值的概率右尾概率为1-F t (df)。由于t分布左右对称，t在区间（-，-t1）取值的概率也为1-F t (df)。 于是 t 分布 曲线 下由-到- t 1和由t 1到+ 两 个 相 等 的 概 率 之和两尾概率为2(1-F t (df)。对于不同自由度下t分布的两尾概率及其对应的临界t值已编制成附表4，即t分布表。,例如，当df=15时，查附表4得两尾概率等于0.05的临界t值为 =2.131，其意义是： P(-t-2.131)= P(2.131t+) =0.025； P(-t-2.131)+ (2.131t+) =0.05。 由附表4可知，当df一定时，概率P越大，临界t值越小；概率P越小，临界t值越大 。 当 概 率 P 一定时，随着df的增加，临界t值在减小，当df=时，临界t值与标准正态分布的临界u值相等。,The end,