05概率统计试题解析.ppt

概率论与数理统计试题解析(05.1),一、选择题(本题共10小题, 每小题3分, 满分30分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.),1. 设A, B为任意两个事件, 且AB,P(B)0, 则下列选项必然成立的是:,(A) P(A)P(A|B); (B) P(A)P(A|B);,(C) P(A)P(A|B); (D) P(A)P(A|B); ,解 因为,P(A|B)P(AB)/P(B),P(A)/P(B),P(A),B,2. 已知“A不发生或者B发生”的概率是0.4，则“A发生而B不发生” 的概率是:,(A)0.16; (B)0.4; (C)0.6; (D)0.8. ,解 因为,A+B=AB 德摩根律,所以,P(AB)1P(A+B)10.4=0.6,C,或采用特值法：取AB=,则： AB=A 0.4，,于是： AB=A=10.4=0.6,3. 设随机变量X的分布律为:PX=-1=0.4, PX=0=0.2, PX=1=0.4, 则概率PX2=1等于,(A)0.2; (B)0.4; (C)0; (D)0.8. ,解 PX2=1PX=1PX=10.4+0.4=0.8,D,解 若(), 则E(X)=, D(X)=,D,解 PX1=,C,6. 设随机变量X服从正态分布N(, 2), 则随着的增大, 概率P|X|,(A)增减不定;(B)单调减小;(C)单调增大;(D)保持不变. ,D,解 P|X|,2(1)1,解 由独立同分布的中心极限定理知：,D,8. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2, 则随机变量3X2Y的方差是,(A)8; (B)16; (C)28; (D)44. ,解 D(3X2Y)D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y),D,解 由2分布的定义知X2和Y2都服从2(1)分布.,C,10. 设相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1, 1), 则,(A) PX+Y0=1/2; (B) PX+Y1=1/2 ;,(C) PXY0=1/2; (D) PXY1=1/2。 ,解 由于随机变量X和Y相互独立，所以,XYN(1, 2), XYN(1, 2),于是,PXY1=PXY10=(0)=1/2,B,二、计算题(本题共2小题, 每小题5分, 满分10分.),1. 两两相互独立的三个事件A,B,C满足条件: ABC= ,P(A) =P(B)=P(C)1/2, 并且已知PABC=9/16, 求P(A).,解,9/16=PABC,=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),=3P(A)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C),=3P(A)3P2(A),即：P2(A)P(A)3/160,解得： P(A)1/4，或P(A)3/4(舍去),所以 P(A)1/4,2. 袋中有50个乒乓球, 其中20个是黄球, 30个是白球。今有两人依次从袋中随机地各取一个球, 取后不放回。求第二个人取得黄球的概率。,解 记A1=“第一人取黄球”， A2=“第一人取白球”,B=“第二人取黄球”，则A1A2S, A1A2,所以,P(B)=P(A1A2)B)=P(A1B)+P(A2B),=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),=20/5019/49+30/5020/49,=98/245,=2/5=0.4,三、计算题(本题共4小题, 每小题6分, 满分24分.),1. 设随机变量X服从正态分布N(, 2)(0)，二次方程y24yX=0无实根的概率为1/2, 求。,解 由二次方程y24yX=0无实根得：,4X0, 所以有,1/2=P4X4=P(X)/(4)/,=1(4)/,于是有： (4)/0,即： 4,求fX(x)。,2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,解 0x1时，,fX(x),即 fX(x),求PX+Y1。,3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,解 PX+Y1,4. 设随机变量X的概率密度为 ,求随机变量Y=eX的概率密度fY(y)。,解 由于Y=eX1, 所以y1时有：,FY(y)=PYyPeXy=PXlny,fY(y)FY(y)=y2,即 fY(y),1. 已知随机变量X与Y的分布律分别为PX=0=0.4, PX=1=0.6和PY=1=0.2, PY=0=0.3,PY=1=0.5,且X与Y相互独立. 求随机变量X与Y的联合分布律以及随机变量Z=maxX,Y的分布律.,四、计算题(本题共5小题, 每小题6分, 满分30分.),解 X与Y的联合分布律为：,Z只取0, 1两个值，其分布律为：,PZ=0=PX=0,Y=1+PX=0,Y=0=0.2,PZ=1=PX=1+PX=0,Y=1=0.8,0.08,0.12,0.2,0.12,0.18,0.3,2. 已知随机变量X与Y的联合分布律为,求X与Y的协方差Cov(X,Y)。,解 E(X)=0(0.2+0.4)+1(0.3+0.1)=0.4,E(Y)=1(0.2+0.3)+2(0.4+0.1)=1.5,E(XY)=0(0.2+0.4)+10.3+20.1=0.5,于是有 Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)=0.1,3. 设随机变量Xb(8, 0.5), 试根据切比雪夫不等式估计P|XE(X)|2。,解 由于Xb(8, 0.5), 所以有D(X)=2,由切比雪夫不等式有：,P|XE(X)|2 D(X)/22=0.5,4. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(,1), 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40(cm), 求的置信度为0.95的置信区间.,(注: 标准正态分布函数值(1.96)=0.975,(1.645)=0.95),解 由于,所以,由于z0.0251.96，于是， 的一个置信度为0.95的置信区间为,(39.51, 40.49 ),5. 设X1,X2,Xn是来自参数为的泊松分布总体X的简单随机样本, 试求参数的矩估计量和最大似然估计量。,解 1=E(X)=,用A1代替1，得的矩估计量为,设x1, x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的一个样本值, X的分布律为,PX=x=,故似然函数为,令,解得的最大似然估计值为,所以的最大似然估计量为,1P(A)P(AB),五、证明题(本题满分6分.),设A、B是任意二事件, 其中A的概率不等于0和1. 证明: PB|A=PB|A是事件A与B独立的充分必要条件.,证明 必要性：设PB|A=PB|A,则有：P(AB)/P(A)=P(AB)/P(A),于是： P(A)P(AB)P(A)P(AB),即： P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB),P(A)P(AB)P(AB),=P(A)P(B),所以，事件A与B独立。,充分性：设A与B独立,则有： P(AB)P(A)P(B)， P(AB)P(A)P(B),所以 PB|A=P(AB)/P(A)P(B),=P(AB)/P(A)PB|A 证毕,