2.4。随机变量函数的分布.ppt

一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,§2.5 随机变量的函数分布,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、离散型随机变量函数的分布,例1 设X具有以下的分布列,试求Y1=X-1,Y2=(X-1)2的分布列:,解: 列表如下:,Y1i各不相同,故PY1=yi,=PX=xi,当x=0和x=2时,y2均为1,此时两种情况应合并为一种: PY2=1,=PX=0+PX=2,设X时离散型随机变量,概率分布表是:,Y=g(X)也是一个离散型随机变量,记yi=g(xi),i=1,2如果诸yi的值互不相等,则Y的概率分布为:,PY=yi,=PX=xi,=pi i=1,2,如果诸yi的值不是互不相等时,应把那些相等的值分别合并, 并且根据概率的加法公式把相应的pi相加,就得到Y的概率分布.,二、连续型随机变量函数的分布,例2 设随机变量X具有概率密度:,求随机变量Y=2X+8的概率密度,解:先求Y的分布函数FY(y),FY(y),=PYy,=P2X+8 y,=PX (y-8)/2,两边对y求导得Y得概率密度:,fY(y),例3 设X的概率密度为fX(x)，试求Y=|X|的概率密度fY(y).,解：,当y0时Yy是不可能事件，即FY(y)=PYy=0,fY(y)FY(y)=0,当y0时，,FY(y) =PYy,P|X|y,=P-yXy,=FX(y)- FX(-y),fY(y)= FY(y)=fX(y)+fX(-y),分布函数法:在Yy中，即在g(X) y中解出X，从而得到一个与g(X) y等价的X的不等式，并以后者代替g(X) y求出其分布函数，继而求出Y的密度函数。,定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), x，又设函数g(x)可导，且有g(x)0,(或恒有g(x)0)。则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为:,其中min(g(-)，g()，max(g(-),g()，h(y)是g(x)的反函数。,注：1)定理的条件可减弱为在各分段区间上满足定理的条件，此时可分段讨论之。,2)若fX(x)在a,b外为零，且g(x)0(或0)，xa,b。则ming(a),g(b),=maxg(a),g(b),解,例4 设随机变量X具有概率密度函数fX(x) 求YX3的概率密度,函数yx3是x的严格单调增加函数 反函数,有连续的导函数,于是 YX3的概率密度为,例5 设随机变量XN(,2)，试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。,证：,y=g(x)=ax+b单调，可导，其反函数为,y(-,+),即 YN(a+b,(a)2),例6 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Y=-2lnX的概率密度。,解：,函数y=-2lnx在(0,1)上单调下降，值域为(0,),当y0时，FY(y)=0，fY(y)=0,当y0时，由y=-2lnx求得,