高等代数§6.1集合·映射.ppt

高等代数课件,第六章 线性空间,§6.1 集合· 映射·,代数与几何教研室,一、集合,把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；,常用大写字母A、B、C 等表示集合；,当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： ；,当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：,1、概念,组成集合的这些事物称为集合的元素,用小写字母a、b、c 等表示集合的元素,关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.,Remark:,集合的表示方法：,描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.,列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.,例1,例3,Mx | x具有性质P,Ma1，a2，an,2、集合间的关系, 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 ，（读作B包含于A）,当且仅当, 空集：不含任何元素的集合，记为,注意：,空集是任意集合的子集, 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作AB .,AB当且仅当 且,3、集合间的运算,交： ；,并：,显然有，,1、证明等式: ,证：显然， 又 ，, ，,从而, ,例题：,故等式成立,因此无论哪一种情况，都有 .,此即，,但是,二、映射,设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对,应法则，通过这个法则对于M中的每一个元素a，,都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 为,称 a´为 a 在映射下的象，而 a´ 称为a在映射下的,M到M´的一个映射，记作 : 或,原象，记作(a)a´ 或,1、定义, 设映射 , 集合,称之为M在映射下的象，通常记作 Im, 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换,显然，,注,例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射,1）Ma，b，c、M´1,2，3,4,：(a)1，(b)1，(c)2,：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4,：(b)2，(c)4,（不是）,（是）,（不是）,2）MZ，M´Z，,：(n)|n|,：(n)|n|1,（不是）,（是）,：(a)a0，,4）MP，M´ ，（P为数域）,：(a)aE， （E为n级单位矩阵）,5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 固定元素.,（是）,（是）,6）MM´Px（P为数域）,：(f (x)f ´(x)，,（是）,3）M ，M´P，（P为数域）,：(A)|A|，,（是）,例5 M是一个集合，定义I：,I(a)a ，,即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射，,都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是,称 I 为 M 上的恒等映射或单位映射,映射的一个特殊情形,2、映射的乘积,即相继施行和的结果， 是 M 到 M“ 的一个,映射,对于任意映射 ，有,有,注：,3、映射的性质:,设映射,（或称 为映上的）；,2）若M中不同元素的象也不同，即,则称是M到M´的一个单射（或称为11的）；,3）若既是单射，又是满射，则称为双射,，使 ，则称是M到M´的一个满射,（或称为 11对应）,例7 判断下列映射的性质,1）Ma，b，c、M´1,2，3,：(a)1，(b)1，(c)2,（既不单射， 也不是满射）,：(a)3，(b)2，(c)1,2）M=Z，M´Z，,：(n)|n|1,（是满射，但不是单射）,：(A)|A|，,（是满射，但不是单射）,（双射）,：(a)aE，,（是单射，但不是满射）,：(a)a0，,（既不单射，也不是满射）,6）MM´Px，P为数域,：(f (x)f ´(x)，,（是满射，但不是单射）,7）M是一个集合，定义I：,I(a)a，,8）M=Z，M´2Z，,：(n)2n,（双射）,（双射）,5）M、M´为任意非空集合， 为固定元素, 对于有限集来说，两集合之间存在11对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；, 对于有限集A及其子集B，若BA（即B为A的真子集），则 A、B之间不可能存在11对应； 但是对于无限集未必如此.,注：,如例7中的8），是11对应，但2Z是Z的真子集,4、可逆映射,使得,则称为可逆映射，为的逆映射，, 若为可逆映射，则1也为可逆映射，且 （1）1,注：,的逆映射是由唯一确定的,记作1, 为可逆映射的充要条件是为11对应,即,为可逆映射,则是一个M´到M的映射, 且对,即,所以为满射.,即为单射.,所以为11对应,反之，设 为可逆映射，则,练习：,找一个R到R的11对应,则 是R到R的一个映射.,故 是11对应,1）g 是不是R到R的双射？g 是不是 f 的逆映射？,2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆,解：1）g是R到自身的双射, ，若 ，则 ，g是单射,并且 ，即g是满射,又 ，, ， g不是 f 的逆映射,事实上， ,2）g是可逆映射,1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；,2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；,3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且,这与h是单射矛盾， f 是单射,证：1）若 f 不是单射，则存在,于是有,3） ，因为 g 是满射，存在 ,使,又因为 f 是满射，存在 ，使,h是满射,又因为 g 是单射，有,即,因而 h 是双射,h 是单射.,