高考数学专题讲义： 概率与统计.doc

第十一讲 概率与统计高考在考什么【考题回放】1（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A B C D解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 选C2（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD解： 从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D.3(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为_(答案用分数表示)解：P=4(上海卷) 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 解： =5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为（用数值作答） 解：由题意知所求概率6(全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 解：在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量在(0，2)内取值的概率为0.8。高考要考什么1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率（2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题（3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题2离散型随机变量的分布列。(1)分布列：设离散型随机变量可能取的值为x1, x2, , xi, ，取每一个值xi（i=1，2，）的概率P（=xi）Pi，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列(2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： <1> Pi0，i1，2，；<2> P1P2=1(3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是，其中k=0，1，nq=1p，于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（n，p）其中n，p为参数，记=b(k；n，p).（4）离散型随机变量的期望：E=x1p1+x2p2+xipi+（5）离散型随机变量的方差：3. 若标准正态分布总体取值小于的概率用表示，即： 突 破 重 难 点【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率解(1), , 所以的分布列为0123P的数学期望E()= (2) P()=分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望E解: ()记"甲投篮1次投进"为事件A1 ， "乙投篮1次投进"为事件A2 ， "丙投篮1次投进"为事件A3，"3人都没有投进"为事件A 则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ， P(A) = P()=P()·P()·P() = 1P(A1) ·1P (A2) ·1P (A3)=(1)(1)(1)=3人都没有投进的概率为 ()解法一: 随机变量的可能值有0，1，2，3， B(3， )， P(=k)=C3k()k()3k (k=0，1，2，3) ， E=np = 3× = 解法二: 的概率分布为:0123PE=0×+1×+2×+3×= 分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？解 飞机成功飞行的概率：4引擎飞机为：2引擎飞机为：要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要所以【范例3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；(4分)（2）获赔金额的分布列与期望。(9分)解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，由题意知，独立，且，（）该单位一年内获赔的概率为（）的所有可能值为，综上知，的分布列为求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列故同理得，综上有（元）变式：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。,命中野兔的概率为配套练习1(湖南卷) 设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.0C0.950D0.975解：服从标准正态分布， 选C2(安徽卷) 以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 （A）-（B） （C）（D）解：=，选B。3（湖北卷）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）ABCD解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选C4（江西卷）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B5. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是 6. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为 0.625 7.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望解：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元）8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0.4中0.4差0.2设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为而市场前景无法确定的利润（I）分别求利润与产量的函数关系式；（II）当产量确定时，求期望；（III）试问产量取何值时，取得最大值 ()解:由题意可得L1= (q0).同理可得 (q0)(q0) () 解:由期望定义可知 () 解:由()可知是产量q的函数,设得0解得(舍去).由题意及问题的实际意义(或当0q10时,0;当q10时, 可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10. 第十、十一讲 三角函数的图象与性质高考在考什么【考题回放】1.已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是（D）（A）偶函数且它的图象关于点对称 （B）偶函数且它的图象关于点对称（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称2定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为 （ D ）（A） （B） （C） （D）3函数y = x·cosx的部分图象是( D )4 存在使 存在区间（a，b）使为减函数而0 在其定义域内为增函数 既有最大、最小值，又是偶函数 最小正周期为以上命题错误的为_. 5把函数y=cos(x+)的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于y对称，则的最小正值为 6设函数f（x）=asinx+bcosx（0）的最小正周期为，并且当x=时，有最大值f（）=4.（1）求a、b、的值；（2）若角a、的终边不共线，f（a）=f（）=0，求tan（a+）的值.【专家解答】（1）由=，0得=2. f（x）=asin2x+bcos2x.由x=时，f（x）的最大值为4，得（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2+）=4sin（2+）=0.sin（2+）sin（2+）=0. cos（+）sin（）=0、的终边不共线，即k（kZ）， 故sin（）0.+=k+（kZ）.tan（+）=.高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.【热点透析】三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 3 三角函数与实际问题的综合应用 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用突破重难点【范例1】右图为y=Asin(wx+j)的图象的一段，求其解析式。解析 法1以M为第一个零点，则A=，所求解析式为点M（在图象上，由此求得所求解析式为法2. 由题意A=，则图像过点 即 取所求解析式为 【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值. 2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:(1) 振幅 A=(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.【范例2】已知函数，（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。解析 （1）由题意得sinx-cosx0即，从而得，函数的定义域为，故0sinx-cosx，所有函数f(x)的值域是。（2）单调递增区间是单调递减区间是，（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。（4） 函数f(x)的最小正周期T=2。【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质【范例3】（陕西理17）设函数，其中向量，且的图象经过点（）求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集合解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为【范例4】设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力本小题满分14分解：（I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为【范例5】已知二次函数f(x)对任意xÎR，都有f(1-x)= f(1+x)成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当xÎ 0，时，求不等式f（）f（）的解集解析:设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1x，）因为，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x1对称，若m0，则x1时，f（x）是增函数，若m0，则x1时，f（x）是减函数，当时，当时，同理可得或综上的解集是当时，为；当时，为，或【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点.【变式】试判断方程sinx=实数解的个数.解析 方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数100|sinx|1|1, |x|100当x0时，如右图，此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性.