随机因素影响下经济周期模型的可靠性分析.doc

精品论文随机因素影响下经济周期模型的可靠性分析韩红臣 1, 王洪礼 1,2 ,许佳 21 天津大学管理学院，天津( 300072)2 天津大学机械工程学院，天津(300072)E-mail: hyli20004126.com摘要: 建立了在随机因素影响下的经济周期模型. 利用拟不可积 Hamilton 系统的随机平均法，将系统的广义能量表示到一维 Ito 扩散过程，利用奇异性边界理论讨论了系统的局部 和全局随机稳定性，得出系统的局部和全局稳定参数条件。为了研究随机因素对经济系统稳 定性的影响，建立了系统可靠性函数和首次穿越（系统损坏）时间概率密度函数，并结合初 始条件和边界条件得到了数值结果。数值结果表明，系统能量状态在接近安全域边界时变化 很快，同时系统在某一时刻最危险，而不是时间越长越危险，能量初始状态远离安全域边界 可降低损坏概率密度峰值并将对应的时刻推后。然后研究了参数变化对受随机因素干扰时的 经济系统的影响，得到了系统的随机可靠性概率函数及首次穿越（系统破坏）时间概率函数亦即经济系统可靠性随经济系统模型结构参数变化的特性。关键词:经济系统；随机稳定性；可靠性；首次穿越 中图分类号：F830.91经济系统是一个极其复杂的非线性系统，近几年来，众多专家学者对经济系统的复杂非 线性现象进行了大量卓有成效的研究工作，例如经济系统的分岔和混沌现象1-5，但多数研 究采用的模型是离散的，并且较少考虑经济系统中大量存在的随机因素的影响。本文在考虑 了经济系统在实际情况中存在的随机因素的影响下，建立了含随机参数激励的经济周期模 型，并用随机平均法把经济周期系统的广义能量表示为一维 Ito 扩散过程。然后研究了参数 变化对受随机因素干扰时的经济系统的影响，得到了系统的随机可靠性概率函数及首次穿越（系统破坏）时间概率函数，和经济系统的可靠性随经济系统模型结构参数变化的特性。1. 系统模型的建立文10中，采用 Hicks 的消费模型和 Puu 提出的带有立方项的投资函数，建立了社会经 济系统非线性动态经济模型，具体如下：q&& + (1 a)q& + (1 + a)q& 3 + bq = 0其中， q 代表当前产出， a = v s , ( a > 0 ); v 是“加速数”(v>1)， s 是边际储蓄倾向( 0 s 1 )，即 a = v s 表示收入或消费变动对投资的加速作用，b = (1 )s 代表永久（长期）储蓄率( 0 1 ), 0 b 1 。上式的右端为 0，表示在一段时间内社会自发消费和自发投资的总量（称为“自发函数”）保持为一个常数。但是根据经济周期理论，在较长时间内，社会自发消费和自发投资的总量 并非一成不变，而是在上下波动，具有周期性。 在随机因素影响下将会产生更加复杂的运 动。为了描述这个过程，我们用高斯白噪声来表征系统随机因素的影响，建立经济系统随机 动态模型。不考虑初始状态，建立随机动态模型如下：- 7 -q&& + (1 a)q& + (1+ a)q&3 + bq = qW (t)(1)q 代表当前产出；a = v s , ( a > 0 ), v 是加速数(v>1)， 为参数，W(t)为高斯白噪声， 强度为 2D； qW (t) 表示系统内随机因素产生的影响，所以（1）是一个弱阻尼弱激励的拟Hamilton 系统。令 q& = p 把方程（1）改写为一维常微分方程组的形式q& = p p& = (a + 1) p3 + (a 1) p bq + qW (t )Hamilton 函数为：(2)H ( p, q) = p2 / 2 + bq2 / 2(3)根据拟 Hamilton 系统的定义及性质，可知系统(2)依概率收敛到一维 Ito 扩散过程dH = m( H )dt + ( H )dB(t)(4)其中 B(t ) 是标准 Weiner 过程， m( H ) 和 ( H ) 分别是 Ito 随机过程的漂移系数和扩散系数。使用拟不可积 Hamilton 系统的随机平均法，可以得到2m( H ) = ( Db+ a 1)H 3 (a + 1)H 222 22. 系统随机稳定性分析 2 ( H ) = D Hb经济系统中普遍存在的大量不确定因素的影响是关系整个系统是否会破坏的关键因素，所以必须研究经济系统相关参数及构成在随机因素激励下对系统稳定性的影响2.1 局部随机稳定性线性化 Ito 随机微分方程，得到它的最大 Lyapunov 指数为：2 = lim 1 ln H 1/ 2 (t ) = 1 D+ a 1(5)t t22b由 Oseledec 乘积遍历性定理，系统（4）的平凡解渐进稳定的条件是最大 Lyapunov 指数 < 0 ，所以得到平凡解局部渐进稳定的条件是：D 2a < 1 (6)2b2.2 全局随机稳定性由于基于乘积遍历性定理的 Lyapunov 指数只能识别系统平凡解的局部稳定性，而对于 系统平凡解的全局稳定性无能为力，所以我们采用奇异边界理论来判断系统的全局稳定性。当 2 ( H ) = 0 时， H = 0 是系统（4）的第一类奇异边界。当 H + ，我们可以发现m( H ) = ，所以 H = + 是此系统的第二类奇异边界。l根据奇异边界理论，相应的判断边界类别的扩散指数l ，漂移指数 l 和特征标值 c 分别为： l = 2 ， l= 1， c= 2 +2(a 1)b2(7)lD当 cl > 1 时，左边界 H = 0 是排斥自然的；cl < 1 时，左边界 H = 0 是吸引自然的；cl = 1 时，左边界 H = 0 是严格自然的。l另外，我们也可以相应得到当 H + 时的扩散指数 l ，漂移指数 l 和特征标值 c ，如下： r = 2 ， r= 2 ， cr= 3(a + 1)bD 2由边界类别划分可知，右边界 H + 是进入边界。平均 Ito 方程（4）的右边界为进入边界，意味着所有右边界上的解曲线都将进入到系统状态空间内部，之后被左边界吸引。因此可知平均 Ito 方程（4）的平凡解 H = 0 是全局渐进稳定的。由局部和全局稳定性的分析，以及条件 0 < a ，可知，为使此随机经济周期系统稳定，只须满足条件：D 20 < a < 1 (8)2b综上分析，在式（8）条件下，在参数满足一定条件下，系统在原点处保持渐进稳定，而当系统受到外在激励时，系统的稳定点发生漂移，从而变得不稳定，这说明系统的稳定性主 要有内在乘性激励控制，但又随着外在激励的改变而改变。3.系统的可靠性与首次穿越通常情况下，人们通过系统的均方响应，依靠经验判断系统的可靠性。但更加科学和有 效的方法是确定通过系统模型的可靠性概率和首次穿越时间函数的条件概率密度来判断。随机振动系统的可靠性可用许多指标来度量，包括可靠性函数、首次穿越损坏的概率密 度函数和首次穿越时间的均值等。其中可靠性函数定义为系统在时间区间0，t内无损坏地 工作的概率。假设系统在状态空间中的安全域为一开域 = 0, ) ，其中 是 的平滑边界。引入可靠性函数R(t | H 0 ) = PH ( ) , (0, t) | H (0) = H 0 = q( H , t | H 0 )dH得到可靠性函数满足的 BK(Backward Kolmogorov)方程：(9)R = m( H ) R1 2 R+ 2 ( H )(10)t0 H20 H 20 0方程（10）的初始条件为：边界条件为：R(0 | H 0 ) = 1, H 0 (11)R(t | H 0 ) = 0, H 0 = (12)R(t | H 0 ) < , H 0 = 0(13)假设系统首次穿越安全边界的时间为 T，则首次穿越时间满足的条件概率密度为：p(T | H )R(t | H )0 |= (14)4. 数值模拟0 tt =T 由于可靠性函数满足的 BK 方程即方程（10）是偏微分方程，很难求出其解析解，只能求解其数值解。取 D = 0.5 ， a = 1.2 ， b = 0.3 ， , = 0.5 时，满足（取安全域边界 = 50 ，时间间隔 t = 105 ）数值模拟系统可靠性函数和首次穿越时间函数的条件概率密度，得到系统可靠性函数时间历程图和首次穿越时间概率密度图，如图 1、2。0从图 1 我们可以看出可靠性函数 R(t | H ) 随着时间的推移而逐渐变小，这说明时间的增 加使得系统状态在安全域停留的可能性在变小，系统被破坏的可能性在增大。同时我们也可 以看到系统 Hamilton 函数取值也就是系统广义能量越靠近安全域边界时，其可靠性函数减 小得越快，系统失稳的可能性也越大；而当系统广义能量远离右安全边界时，其可靠性函数 减小得较慢，也就意味着系统失稳的时刻会被推迟。所以，为了保持经济系统的稳定运行， 应尽可能调节相关参数使系统的广义能量值尽可能的小，从而使系统失稳破坏的可能性降到最小。图 1 可靠性函数时间历程图图 2 首次穿越时间概率密度图在系统中，系统状态停留在安全域内的概率也就是可靠性，系统状态首次穿过安全域就0意味着系统失稳，系统状态首次穿越安全边界的时间就是系统损坏时刻。研究经济系统随机 周期模型的首次穿越时间，具有重要的理论和实践价值。从图 2 中我们可以看出，首次穿越 时间的概率密度 p(T | H ) 在时间变化时存在峰值，其峰值对应的时刻就是系统状态最有可能 越出安全域、使系统破坏的时刻；在系统广义能量状态足够小，远离安全域边界时，峰值会 减小，其对应的时刻也向后推移。为了研究经济系统中某个结构参数对系统的可靠性函数和首次穿越时间的影响。固定其图 3 可靠性函数时间历程图图 4 首次穿越时间概率密度图他参数的同时改变此参数。取系统参数 D = 0.5, a = 2.4, b = 0.3, = 0.5（增大 a = 2.4, ），从而得到系统可靠性函数时间历程图和首次穿越时间概率密度图，即图 3、4。图 3、4 与图 1、2 比较，我们可得结论：当系统参数 a 增大时，系统可靠性概率函数下 降，系统损坏的首次穿越概率时间提前，系统可靠性下降，但其作用不显著。即经济系统中 收入或消费变动对投资的加速作用增大使系统不稳定，系统可靠性降低，但作用不明显。取系统参数 D = 0.5, a = 1.2, b = 0.6, = 0.5 （增大 b = 0.6 ），从而得到系统可靠性函数时间历程图和首次穿越时间概率密度图，如图 5、6。图 5 可靠性函数时间历程图图 6 首次穿越时间概率密度图图 5、6 与图 1、2 比较，我们可得结论：当系统参数 b 增大时，系统可靠性概率函数显著增加，系统损坏的首次穿越概率时间延迟，即系统可靠性加强，且效果显著。即经济系统 中永久（长期）储蓄率增加，系统的可靠性显著增加。5. 结论本研究建立了在随机因素影响下的经济周期模型. 利用拟不可积 Hamilton 系统的随机 平均法，将系统的广义能量表示到一维 Ito 扩散过程，利用奇异性边界理论讨论了系统的局 部和全局随机稳定性，得出系统的局部和全局稳定参数条件。为了研究随机因素对经济系统 稳定性的影响，建立了系统可靠性函数和首次穿越（系统损坏）时间概率密度函数，并结合 初始条件和边界条件得到了数值结果。数值结果表明，系统能量状态在接近安全域边界时变 化很快，同时系统在某一时刻最危险，而不是时间越长越危险，能量初始状态远离安全域边 界可降低损坏概率密度峰值并将对应的时刻推后。然后研究了参数变化对受随机因素干扰时 的经济系统的影响，得到结论如下：经济系统中收入或消费变动对投资的加速作用增大会 使系统不稳定，系统可靠性降低，但其作用不明显。经济系统中永久（长期）储蓄率增加， 会使系统的可靠性显著增加。参考文献1 Y. 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The backward Kolmogorov equation for reliability function and the generalized Pontryagin equation for conditional moment of the first-passage time had been established, the numerical results were given in virtue of figures according to the classification of boundary conditions and initial conditions of these two equations. At last, the influence of parameters on first-passage problem of system had been analyzed based on the figures.Keywords: business cycle;stochastic stability;reliability function;first-passage