新课标 必修3全册学案1.3算法案例(教、学案） .doc

1.3算法案例 【教学目标】：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。【教学重难点】：重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 【教学过程】：情境导入：1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。新知探究：1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：82516105×12146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。61052146×2181321461813×13331813333×5148333148×23714837×40则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r10，则r1为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；依次计算直至rn0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）2.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：9863356335283528728721217141477所以，98与63的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）比较辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到3. 秦九韶算法 秦九韶计算多项式的方法令，则有，其中.这样，我们便可由依次求出；显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算 4.进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.（1）.k进制转换为十进制的方法：， （2）.十进制转化为k进制数b的步骤为：第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法. 要点诠释：1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0，1两个数字.2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.【反馈测评】：1求324、243、135这三个数的最大公约数。求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。2用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 9863356335283528728721217211477所以，98和63的最大公约数等于7 3已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。解：将多项式变形：按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：，所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.24将二进制数110011(2)化成十进制数解：根据进位制的定义可知 所以，110011（2）=51。 【板书设计】：1.3算法案例一、辗转相除法例1二、更相减损术例2三、秦九韶算法四、进位制五、反馈测评：小结作业 临清三中数学组 编写人：赵万龙 审稿人： 郭振宇 李怀奎1.3算法案例 课前预习学案一、预习目标1、理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2、理解秦九韶算法的思想。二、预习内容什么是进位制？最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明三、提出疑惑思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？课内探究学案一、 学习目标1. 会用辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。2. 会利用秦九韶算法求多项式的值。3各进位制之间能灵活转化。二、学习重难点：重点：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法和秦九韶算法求多项式的值。难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。三、 学习过程辗转相除法思路：可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)(1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；(2)若0,则n为m,n的最大公约数；若0,则用除数n除以余数得到一个 和一个余数；(3)若0,则为m,n的最大公约数;若0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数；依次计算直至0，此时所得到的即为所求的最大公约数.例题1：求两个正数1424和801的最大公约数. 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法. 由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数 是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在九章算 术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置 分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 翻译为：(1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执 行第二步.(2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小 数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最 大公约数.例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.秦九韶算法：（1）设计求多项式当x=5时的值的算法，并写出程序。（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？引导学生把多项式变形为：并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？秦九韶算法适用于一般的多项式的求值问题吗？怎样用程序框图表示秦九韶算法？观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。请画出程序框图。例题3已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。进位制：我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？其它进位制的数又是如何的呢？进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。例题4将二进制数110011(2)化成十进制数 精讲点拨： 1求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数. 2 求两个正数8251和2146的最大公约数. 3.用秦九韶算法计算多项式在x=-4时的值时,V3的值为 ： 反思总结： 比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求 的方法，计算上辗转相除法以 法为主，更相减损术以 法为主，计算次数上 法计算次数相对较少，特别当两个数字 时计算次数的区别较明显(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以 则得到，而更相减损术 则以 而得到(3)通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？(4)秦九韶算法在计算一个n次多项式的值时，只要做_次乘法运算和_次加法运算。课后练习与提高1、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是： A3 B9 C17 D512、将数转化为十进制数为：A. 524 B. 774 C. 256 D. 2603、用秦九韶算法计算多项式当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是： A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 ，5 3.3.1几何概型教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率它也是一种等可能概型教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平教学重点与难点：是随机模拟部分这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动教学过程：一、问题情境如图，有两个转盘甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域时，甲获胜，否则乙获胜问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法三、典型例题1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少分析：我们有两种方法计算事件的概率（1）利用几何概型的公式（2）利用随机模拟的方法解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以解法2：设X，Y是01之间的均匀随机数X6.5表示送报人送到报纸的时间，Y7表示父亲离开家去工作的时间如果Y7X6.5，即YX0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸用计算机做多次试验，即可得到P（A）教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了的近似值另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组01区间的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；（2）经平移和伸缩变换，a（a10.5）*2，b（b10.5）*2；（3）数出落在圆内a2b21的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）可以发现，随着试验次数的增加，得到的近似值的精度会越来越高本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积练习1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y1和yx2围成的部分）的面积3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积作业：课本 临清三中数学组 编写人：庞红玲 审稿人： 郭振宇 李怀奎3.3.1几何概型课前预习学案一、预习目标1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力二、预习内容1. ，简称为几何概型2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： 3. 讨论：（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（ 2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用学习重点与难点：几何概型的计算方法二、学习过程：例1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少分析：我们有两种方法计算事件的概率（1）利用几何概型的公式（2）利用随机模拟的方法解法1： 解法2：例2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值解：用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1） （2） （3） 三、反思总结1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测一、选择题1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.A. B. C. D.不确定2. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是A. B. C. D.3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.A. B. C. D.二、填空题1. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_.2. 如下图，在一个边长为a、b（ab0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为_.三解答题1在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.答案一、选择题1. B 2. A 3. C二、填空题1. 2. 三、解答题 解：在AB上截取AC=AC，于是P（AMAC）=P（AM）=答：AM的长小于AC的长的概率为.课后练习与提高1两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是_.2. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在xOT内的概率是_.3. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_.4. 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com- 18 -