高中数学新课程创新教学设计案例——46 等差数列的前n项和.docx

46 等差数列的前n项和 教材分析等差数列的前项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前项和提供了一种重要方法教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前项和公式为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前项和公式解决问题这节内容重点是探索掌握等差数列的前项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前项和公式推导思路的形成教学目标1. 通过等差数列前项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力2. 理解和掌握等差数列的前项和公式，体会等差数列的前项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法任务分析这节内容主要涉及等差数列的前项公式及其应用对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子123100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式对于等差数列前项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸教学设计一、问题情景1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“123100？”时，很快地就算出了结果他是怎么算出来的呢？他发现11002993975051101，于是12100101×5050502. 受高斯算法启发，你能否求出123的和3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前项和？二、建立模型1. 数列的前项和定义对于数列n，我们称12n为数列n的前项和，用Sn表示，即Sn12n2. 等差数列的求和公式（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前项和公式？对于公差为的等差数列n：Sn1（1）（12）1（1）， 依据高斯算法，将Sn表示为Snn（n）（n2）n（1） 由此得到等差数列的前项和公式小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法（2）结合通项公式n1（1），又能得怎样的公式？（）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项1和项数；不同点是前者还须要知道n，后者还须要知道因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第项与倒数第项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前项和是关于的没有常数项的“二次函数”三、解释应用例题1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列n的前项和Sn（1）1 4，8 18，8（2）1145，0.7，n32注：恰当选用公式进行计算2. 已知一个等差数列n前10项的和是310，前20项的和是1220由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于1与的关系式，它们都是关于1与的二元一次方程，由此可以求得1与，从而得到所求前项和的公式解：由题意知注：（1）教师引导学生认识到等差数列前项和公式，就是一个关于n，1，或者1，的方程，使学生能把方程思想和前项和公式相结合，再结合通项公式，对1，n及Sn这五个量知其三便可求其二（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法例如，3. 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为的等差数列问题实质是求该数列的前10项的和解：根据题意，从20012010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元所以，可以建立一个等差数列n，表示从2001年起各年投入的资金，其中，1500，50那么，到2010年（10），投入的资金总额为答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元注：教师引导学生规范应用题的解题步骤4. 已知数列n的前项和Sn2，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据由此可知，数列n是一个首项为，公差为2的等差数列思考：一般地，数列n前项和SnA2B（A），这时n是等差数列吗？为什么？练习1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10开始，每隔2速度提高20如果测试时间是30，测试距离是多长？2. 已知数列n的前项的和为Sn24，求这个数列的通项公式3. 求集合M21，N*，且60的元素个数，并求这些元素的和四、拓展延伸1. 数列n前项和Sn为Snpn2qn（，为常数且），则n成等差数列的条件是什么？2. 已知等差数列5，4，3，的前项和为Sn，求使Sn最大的序号的值分析1：等差数列的前项和公式可以写成Sn2 （1），所以Sn可以看成函数x2（1 ）（N*）当时的函数值另一方面，容易知道Sn关于的图像是一条抛物线上的一些点因此，我们可以利用二次函数来求的值解：由题意知，等差数列5，4，3，的公差为，所以于是，当取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值分析2：因为公差 ，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了即使然后从中求出点评这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。