2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：1.3.1.1 函数的单调性 Word版含解析.pdf

第 1 课时 函数的单调性 知识点一 定义域为 I 的函数 f(x)的增减性 , 定义中的 x1，x2有以下 3 个特征 (1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证 明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定 x1 Bm Dmf(x2)，则 x1，x2的大小关系为 _ 解析：f(x)在 R 上是增函数，且 f(x1)f(x2)，x1x2. 答案：x1x2 类型一 利用函数图象求单调区间 例 1 已知函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为 ( ) A(3,1)(1,4) B(5，3)(1,1) C(3，1)，(1,4) D(5，3)，(1,1) 【解析】 在某个区间上，若函数 yf(x)的图象是上升的，则该 区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间 为(3，1)，(1,4) 【答案】 C 观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间 是增(减)区间 跟踪训练 1 函数 f(x)的图象如图所示，则( ) A函数 f(x)在1,2上是增函数 B函数 f(x)在1,2上是减函 数 C函数 f(x)在1,4上是减函数 D函数 f(x)在2,4上是增函数 解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数， 图象下降对应减函数，故选 A. 答案：A 图象上升或下降趋势判断 类型二 函数单调性的判定与证明 例 2 判断函数 f(x)在区间(1， )上的单调性， 并用单调 1 x21 性的定义证明 【解析】 函数 f(x)在区间(1，)上单调递减 1 x21 证明 ： 任取 x1， x2(1， )， 且 x10. x1，x2(1，)， x2x10，x 10，x 10， 2 12 1 0，即 f(x1)f(x2)， x 2x1 x 2x1 x 2 11x2 2 1 由单调性的定义可知函数 f(x)在区间(1，)上单调递减 1 x21 先根据单调性的定义任取x1， x2(1， )， 且x10，x110，x210. 0.即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2) x2x1 x 11x2 1 y在(1，)上是减函数 x2 x1 利用四步证明函数的单调性 类型三 由函数的单调性求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(， 4上是减函数， 求实数 a 的取值范围 【解析】 f(x)x22(1a)x2 x(1a)22(1a)2， f(x)的减区间是(，1a f(x)在(，4上是减函数， 对称轴 x1a 必须在直线 x4 的右侧或与其重合 1a4，解得 a3. 故 a 的取值范围为(，3. 首先求出 f(x)的单调减区间，求出 f(x)的对称轴为 x1a，利用 对称轴应在直线 x4 的右侧或与其重合求解 方法归纳 “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指的是函 数递减的最大范围为区间 I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是 相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定 要仔细读题，明确条件含义 跟踪训练 3 例 3 中，若将“函数在区间(，4上是减函数” 改为“函数的单调递减区间为(，4” ，则 a 为何值？ 解析：由例 3 知函数 f(x)的单调递减区间为(，1a， 1a4，a3. 求出函数的减区间，用端点值相等求出 a. 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有 0，则必有( ) fafb ab A函数 f(x)先增后减 Bf(x)是 R 上的增函数 C函数 f(x)先减后增 D函数 f(x)是 R 上的减函数 解析 ： 由0 知， 当 ab 时， f(a)f(b)； 当 af(x2)的是( ) Af(x)x2 Bf(x)1 x Cf(x)|x| Df(x)2x1 解析 ： 因为对任意 x1，x2(0，)，当 x1f(x2)， 所以函数 f(x)在(0，)上是减函数，A，C，D 在(0，)上都为增 函数，B 在(0，)上为减函数 答案：B 4函数 f(x)x|x2|的增区间是( ) A(，1 B2，) C(，1，2，) D(，) 解析：f(x)x|x2|Error! 作出 f(x)简图如下： 由图象可知 f(x)的增区间是(，1，2，) 答案：C 5函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，则实数 m 的取值范围是( ) A(，3) B(0，) C(3，) D(，3)(3，) 解析：因为函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，所 以 2mm9，即 m3. 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6函数 f(x)(x2)21 的单调递减区间为_ 解析 ： 函数 f(x)(x2)21 的图象开口向下，对称轴为直线 x 2， 在对称轴右侧函数单调递减， 所以函数 f(x)(x2)21 的单调 递减区间为2，) 答案：2，) 7若 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x2)3，解得 x5. 答案：(5，) 8函数 y|x24x|的单调减区间为_ 解析 ： 画出函数 y|x24x|的图象， 由图象得单调减区间为 ： (， 0，2,4 答案：(，0，2,4 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9判断并证明函数 f(x) 1 在(0，)上的单调性 1 x 解析：函数 f(x) 1 在(0，)上是增函数证明如下： 1 x 设 x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且 x10， 又由 x1x2，得 x1x20， 于是 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， f(x) 1 在(0，)上是增函数 1 x 10作出函数 f(x)Error!的图象，并指出函数的单调区间 解析：f(x)Error!的图象如图所示 由图象可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2；单调递增区 间为(2，) 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11若函数 f(x)的定义域为(0，)，且满足 f(1)f(2)f(3)，则函 数 f(x)在(0，)上( ) A是增函数 B是减函数 C先增后减 D单调性不能确定 解析：函数单调性的定义突出了 x1，x2的任意性，仅凭区间内有 限个函数值的关系， 不能作为判断函数单调性的依据， A， B， C 错误， D 正确 答案：D 12如果二次函数 f(x)x2(a1)x5 在区间上是增函数， ( 1 2，1) 则实数 a 的取值范围为_ 解析：函数 f(x)x2(a1)x5 的对称轴为 x且在区间 a1 2 上是增函数， ( 1 2，1) ，即 a2. a1 2 1 2 答案：(，2 13画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间 解析：yError! 即 yError! 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单 调减区间为1,0，1，) 14 已知 f(x)是定义在1,1上的增函数， 且 f(x2)f(1x)， 求 x 的取值范围 解析：f(x)是定义在1,1上的增函数， 且 f(x2)f(1x)， Error!解得 1x ， 3 2 所以 x 的取值范围为. 1，3 2)