2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.2.1 指数函数及其性质 Word版含解析.pdf

2.1.2 指数函数及其性质 课标要点 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.指数函数的概念bb 2.指数函数的图象cc 3.指数函数的性质cc 4.利用函数图象解决问题cc 知识导图 学法指导 1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式 2借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法 解决有关问题 3在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数 有关的复合函数问题 第 1 课时 指数函数及其性质 知识点一 指数函数的定义 函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量 指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数 (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax的系数是 1. 知识点二 指数函数的图象与性质 a100 时，y1； 当 x0 时，01 性 质 单调性是 R 上的增函数是 R 上的减函数 底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的 “升” 与 “降” 当 a1 时， 指数函数的图象是 “上升” 的 ； 当 00 且 a1)可知只有 D 项正确 答案：D 3函数 f(x)的定义域为( ) 1 2x1 AR B(0，) C0，) D(，0) 解析：要使函数有意义， 则 2x10，2x1，x0. 答案：B 4已知集合 Ax|x4，则 AB( ) A Bx|04x|x2，则 ABx|20 且 a1 (2)指数函数 yf(x)的图象经过点，那么 f(4)·f(2)等于 ( 2，1 4) _ 【解析】 (1)由指数函数的定义得Error!解得 a2. (2)设 yf(x)ax(a0，a1)，所以 a2 ，所以 a2， 1 4 所以 f(4)·f(2)24×2264. 【答案】 (1)C (2)64 (1)根据指数函数的定义可知，底数 a0 且 a1，ax的系数是 1. (2)先设指数函数为 f(x)ax，借助条件图象过点(2， )求 a，最 1 4 后求值 方法归纳 (1)判断一个函数是指数函数的方法 看形式：只需判定其解析式是否符合 yax(a0，且 a1)这一 结构特征 明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不 具备，则不是指数函数 (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 跟踪训练 1 (1)若函数 y(32a)x为指数函数，则实数 a 的取值 范围是_； (2)下列函数中是指数函数的是_(填序号) y2·()x y2x1 y x yxx y3 y 2 ( 2) 1 x x . 1 3 解析：(1)若函数 y(32a)x为指数函数， 则Error!解得 a0 且1. 类型二 指数函数的图象问题 例 2 (1)如图所示是下列指数函数的图象： yax ybx ycx ydx 则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( ) Aa0 且 a1 时，函数 f(x)ax32 必过定点_ 【解析】 (1)可先分为两类，的底数一定大于 1，的底 数一定小于 1，然后再由比较 c，d 的大小，由比较 a，b 的大 小当指数函数的底数大于 1 时，图象上升，且当底数越大，图象向 上越靠近 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，且当底数越小， 图象向下越靠近 x 轴，故选 B. (2)当 a0 且 a1 时， 总有 f(3)a3321， 所以函数 f(x)ax3 2 必过定点(3，1) 【答案】 (1)B (2)(3，1) (1)先由 a1,00，a1) 的图象与直线 x1 相交于点(1，a)，由图象可知：在 y 轴右侧，图象 从下到上相应的底数由小变大 (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内， 底数自下而上依次增大 跟踪训练 2 (1)已知 1nm0，则指数函数ymx，ynx的 图象为( ) (2)若 a1，11，且10，a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，求 a. a 2 解析 ： (1)由 x20， 得 x2， 所以定义域为x|x2 当 x2 时， 0，又因为 02 C11 时，f(x)ax 过原点且斜率大于 1，g(x)ax是递增的 ； 当 00 且 a1) 因为 f(x)过点， ( 2， 1 16) 所以a2， 1 16 所以 a4. 所以 f(x)4x， 所以 f4 . ( 3 2) 3 2 1 8 答案：1 8 7函数 f(x)的值域为_1ex 解析：由 1ex0 得，ex1，故函数 f(x)的定义域为x|x0，所 以 00 且 a1)的图象恒过定点 P， 则点 P 的坐标是_ 解析 ： 令x10， 得x1， 此时f(1)5.所以函数f(x)4ax1(a0 且 a1)的图象恒过定点 P(1,5) 答案：(1,5) 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9设 f(x)3x，g(x) x. ( 1 3) (1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图象； (2)计算 f(1)与 g(1)，f()与 g()，f(m)与 g(m)的值，从中你 能得到什么结论？ 解析：(1)函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示： (2)f(1)313，g(1) 13； ( 1 3) f()3，g() 3； ( 1 3) f(m)3m，g(m) m3m. ( 1 3) 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其 函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 y 轴 对称 10求下列函数的定义域和值域： (1)y2 1；(2)y 1 x ( 1 3) 2 22.x 解析 ： (1)要使 y2 1 有意义， 需 x0， 则 2 1； 故 2 11 1 x 1 x 1 x 且 2 10，故函数 y2 1 的定义域为x|x0，函数的值域为( 1 x 1 x 1,0)(0，) (2)函数y的定义域为实数集R， 由于2x20， 则2x22 ( 1 3) 2 22.x 2. 故 00，a1)的定义域和值域都是0,2，求 实数 a 的值 解析：当 a1 时，f(x)在0,2上递增， Error!即Error! a± . 3 又 a1，a；3 当 0a1 时，f(x)在0,2上递减， Error! 即Error!解得 a. 综上所述，实数 a 的值为 . 3