信号处理与系统分析 电子教案.pdf

新世纪电子信息与自动化系列课程改革教材新世纪电子信息与自动化系列课程改革教材新世纪电子信息与自动化系列课程改革教材新世纪电子信息与自动化系列课程改革教材 信号处理信号处理信号处理信号处理与系统分析与系统分析与系统分析与系统分析 中国水利水电出版社中国水利水电出版社 前前前前 言言言言 信号是一个广泛的概念。如果只限于讨论确定性信信号是一个广泛的概念。如果只限于讨论确定性信信号是一个广泛的概念。如果只限于讨论确定性信信号是一个广泛的概念。如果只限于讨论确定性信 号，那么信号就是一个或者几个独立变量的函数。号，那么信号就是一个或者几个独立变量的函数。号，那么信号就是一个或者几个独立变量的函数。号，那么信号就是一个或者几个独立变量的函数。 还有一些随位置变化的物理量也是的信号，例如：还有一些随位置变化的物理量也是的信号，例如：还有一些随位置变化的物理量也是的信号，例如：还有一些随位置变化的物理量也是的信号，例如： 灰度、密度、色度等等。灰度、密度、色度等等。灰度、密度、色度等等。灰度、密度、色度等等。 信号在自动控制、电子系统、通讯、航空航天、计信号在自动控制、电子系统、通讯、航空航天、计信号在自动控制、电子系统、通讯、航空航天、计信号在自动控制、电子系统、通讯、航空航天、计 算机、生物工程、地震学、声学、机器人等领域都算机、生物工程、地震学、声学、机器人等领域都算机、生物工程、地震学、声学、机器人等领域都算机、生物工程、地震学、声学、机器人等领域都 有广泛的应用。有广泛的应用。有广泛的应用。有广泛的应用。 许多随时间变化的物理量就是典型的信号，例如：许多随时间变化的物理量就是典型的信号，例如：许多随时间变化的物理量就是典型的信号，例如：许多随时间变化的物理量就是典型的信号，例如： 电压、电流、功率、速度、加速度、位移、密度、电压、电流、功率、速度、加速度、位移、密度、电压、电流、功率、速度、加速度、位移、密度、电压、电流、功率、速度、加速度、位移、密度、 场强等等。场强等等。场强等等。场强等等。 电路分析基础、模拟电路等，讲述了电路分析基础、模拟电路等，讲述了电路分析基础、模拟电路等，讲述了电路分析基础、模拟电路等，讲述了电信号电信号电信号电信号 的一些简单的处理理论和方法。的一些简单的处理理论和方法。的一些简单的处理理论和方法。的一些简单的处理理论和方法。 这门课程进一步系统地学习信号处理的一般这门课程进一步系统地学习信号处理的一般这门课程进一步系统地学习信号处理的一般这门课程进一步系统地学习信号处理的一般 性的理论和方法。信号将是一个更加广泛性的理论和方法。信号将是一个更加广泛性的理论和方法。信号将是一个更加广泛性的理论和方法。信号将是一个更加广泛 的概念，并不专指电信号。的概念，并不专指电信号。的概念，并不专指电信号。的概念，并不专指电信号。 把诸如电路这样的载体抽象成把诸如电路这样的载体抽象成“ “ “ “系统系统” ” ” ”，这里的，这里的“ “ “ “系系 统统” ” ” ”，有些是电路实体，有些可能是看不见摸不着的，有些是电路实体，有些可能是看不见摸不着的， 比如说，一段计算机程序或者代码就可能是一个系比如说，一段计算机程序或者代码就可能是一个系 统，一个规则或者一个过程也可以认为是一个系统。统，一个规则或者一个过程也可以认为是一个系统。 抽象抽象 软件软件电路电路规则规则过程过程 系统系统 系统的作用就是对信号的变换。系统的作用就是对信号的变换。 系统系统信号信号信号 以前，与本课程类似的课程是以前，与本课程类似的课程是“ “ “ “信号与系统信号与系统” ” ” ”， 或者是或者是“ “ “ “电路、信号与系统电路、信号与系统” ” ” ”，也就是说，处理信，也就是说，处理信 号的系统具有一个比较重要的地位，这是因为，号的系统具有一个比较重要的地位，这是因为， 在模拟信号处理阶段，处理信号的实体一般是一在模拟信号处理阶段，处理信号的实体一般是一 个个电路电路。 但是近年来，数字信号处理技术占据了主流。但是近年来，数字信号处理技术占据了主流。 处理信号的系统往往是一个处理信号的系统往往是一个计算机软件计算机软件。因此，。因此， 对信号的处理方法而不是它的实现方式具有了更对信号的处理方法而不是它的实现方式具有了更 大的比重。大的比重。 信号处理专业领域的应用范围非常地广泛。信号处理专业领域的应用范围非常地广泛。 在在系统建模与辨识系统建模与辨识方面，信号处理的理论和技方面，信号处理的理论和技 术可以用于证券市场的行情预测、电子芯片的解术可以用于证券市场的行情预测、电子芯片的解 密和黑箱估计理论等等；密和黑箱估计理论等等； 信号滤波是信号处理的一个应用，例如，在音信号滤波是信号处理的一个应用，例如，在音 响的扬声器系统的设计中，由于不同材质的振动响的扬声器系统的设计中，由于不同材质的振动 发声体，对于不同的频率范围的信号，有不同的发声体，对于不同的频率范围的信号，有不同的 表现。为了使得声音的不同部分都得到完美的再表现。为了使得声音的不同部分都得到完美的再 现，我们选择钛合金的扬声器来表现高音部分，现，我们选择钛合金的扬声器来表现高音部分， 选择碳纤维扬声器来表现低音部分。这样就有一选择碳纤维扬声器来表现低音部分。这样就有一 个将信号的高频部分和低频部分分开的问题，这个将信号的高频部分和低频部分分开的问题，这 里就要用到信号处理的手段来进行滤波；里就要用到信号处理的手段来进行滤波； 在微弱信号检测方面，信号处理技术将微弱的在微弱信号检测方面，信号处理技术将微弱的 被淹没在背景噪声中的有用信号提取出来，这样被淹没在背景噪声中的有用信号提取出来，这样 的背景噪声一般是电磁干扰和器件中电荷的无规的背景噪声一般是电磁干扰和器件中电荷的无规 则运动造成的，这种噪声可以模型化为白噪声，则运动造成的，这种噪声可以模型化为白噪声， 利用信号处理的技术就可以将有用的信号从背景利用信号处理的技术就可以将有用的信号从背景 噪声中分离出来；噪声中分离出来； 图像处理是信号处理的一个重要方面，例如，图像处理是信号处理的一个重要方面，例如， 医学图像处理，计算机断层成像（医学图像处理，计算机断层成像（CTCTCTCT）等都得到）等都得到 了广泛的应用；了广泛的应用； 信息压缩是信号处理的一个典型应用，例如：信息压缩是信号处理的一个典型应用，例如： JPEGJPEGJPEGJPEG、DVDDVDDVDDVD、MPEGMPEGMPEGMPEG和卫星图像压缩都是成功和卫星图像压缩都是成功 的应用。以前，卫星对地面拍摄的照片是记录在的应用。以前，卫星对地面拍摄的照片是记录在 胶片上的，通过回收卫星获得照片，但是这样做胶片上的，通过回收卫星获得照片，但是这样做 成本高，信息不及时。后来采用数码摄像，但是成本高，信息不及时。后来采用数码摄像，但是 高清晰度照片所包含的信息量也是很大的，因此高清晰度照片所包含的信息量也是很大的，因此 在图像的下行传递中必须采用图像压缩技术；在图像的下行传递中必须采用图像压缩技术； 模式识别技术的发展对于信号处理不断地提出模式识别技术的发展对于信号处理不断地提出 新的需求，声纹、指纹、面像识别、眼虹膜识别新的需求，声纹、指纹、面像识别、眼虹膜识别 都是模式识别技术的典型应用。信号特征的提都是模式识别技术的典型应用。信号特征的提 取，用超声波进行金属探伤，油田勘探等应用都取，用超声波进行金属探伤，油田勘探等应用都 需要在信号中提取特征。需要在信号中提取特征。 通讯是人类对于信号处理技术所提出的最早的通讯是人类对于信号处理技术所提出的最早的 需求，直到现在这种需求仍然是十分旺盛的。在需求，直到现在这种需求仍然是十分旺盛的。在 信号的发射与接收过程中，必须对信号进行各种信号的发射与接收过程中，必须对信号进行各种 方式的变换；方式的变换； MatlabMatlabMatlabMatlab为本课程提供了很好的软件实验平台，为本课程提供了很好的软件实验平台， 同时，同时，MatlabMatlabMatlabMatlab还提供了大量的函数库，可以连接还提供了大量的函数库，可以连接 到到C/C+C/C+C/C+C/C+，VBVBVBVB，DephiDephiDephiDephi等开发出来的应用软件里等开发出来的应用软件里 面去，极具应用价值。面去，极具应用价值。 第一章第一章第一章第一章 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统的基本概念的基本概念的基本概念的基本概念 本章介绍一些信号与系统的基本概念，介绍本章介绍一些信号与系统的基本概念，介绍 一些典型的信号，例如，正弦信号、指数信一些典型的信号，例如，正弦信号、指数信 号、冲激信号、阶跃信号等等号、冲激信号、阶跃信号等等. . 本章的后两个小节提出系统的概念，并且分本章的后两个小节提出系统的概念，并且分 析系统的基本性质。析系统的基本性质。 分析一些信号的基本性质，例如：周期性、分析一些信号的基本性质，例如：周期性、 奇偶性等。奇偶性等。 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 信号的概念信号的概念信号的概念信号的概念 确定性信号确定性信号确定性信号确定性信号确定性信号确定性信号确定性信号确定性信号(Determinate Signal)(Determinate Signal)就是一个就是一个 函数，该函数的函数，该函数的独立变量独立变量或者说或者说自变量自变量 (independent variable)(independent variable)可能是一个也可可能是一个也可 能是几个。能是几个。 随机信号随机信号随机信号随机信号随机信号随机信号随机信号随机信号(Random Signal)(Random Signal)就是一个就是一个随机过程随机过程。 数学上，信号即函数。它可能有数学上，信号即函数。它可能有一个一个独立变独立变 量量，或者，或者多个多个独立变量。独立变量。 )(tv)(ti ),(jif ),(tjif 电压、电流作为时间电压、电流作为时间( (独立变量独立变量) )的函数可以认为是的函数可以认为是 信号。这是信号的最常见形式。语音信号、电压信号。这是信号的最常见形式。语音信号、电压 信号和电流信号都是信号和电流信号都是一维信号一维信号(One Dimension (One Dimension Signal)Signal)可以用一元函数表示；可以用一元函数表示； )(ti 图1.1 连续时间信号的波形 平面图像是平面图像是二维信号二维信号(Two Dimensions (Two Dimensions Signal)Signal)，可以用二元函数表示，图像的，可以用二元函数表示，图像的 灰度值作为直角坐标的函数；灰度值作为直角坐标的函数； ),(jif 视频信号是视频信号是三维信号三维信号三维信号三维信号，可以用三元函数，可以用三元函数 来表示，来表示， 本课程主要讨论本课程主要讨论一维信号一维信号的处理。的处理。 虽然信号的自变量决不局限于时间，但是虽然信号的自变量决不局限于时间，但是 若无特殊声明，函数的自变量都可以理解若无特殊声明，函数的自变量都可以理解 为时间变量。为时间变量。 如果用来表示信号的函数的自变量的定义如果用来表示信号的函数的自变量的定义 域是域是实数域实数域实数域实数域，所表示的信号称为，所表示的信号称为连续时间连续时间连续时间连续时间 信号信号信号信号(Continuous-Time Signal)(Continuous-Time Signal)，或者称为，或者称为 模拟信号模拟信号模拟信号模拟信号(Analog Signal(Analog Signal或者或者Simulated Simulated Signal)Signal)， Rttx，)( 我们将信号以我们将信号以时间时间为横轴，为横轴，数值数值为纵轴做为纵轴做 出的图示，称为信号的出的图示，称为信号的波形波形波形波形波形波形波形波形( ( ( ( ( ( ( (Wave ProfileWave Profile) ) ) ) ) ) ) ) 如果用来表示信号的函数的自变量的定义如果用来表示信号的函数的自变量的定义 域是域是整数域整数域整数域整数域整数域整数域整数域整数域，那么，所表示的信号称为，那么，所表示的信号称为离离离离离离离离 散时间信号散时间信号散时间信号散时间信号散时间信号散时间信号散时间信号散时间信号(Discrete-Time Signal)(Discrete-Time Signal)，也，也 可以称为可以称为序列序列序列序列序列序列序列序列(Sequence)(Sequence)， Znnx， 如果没有特殊说明，值域为复数域 在非整数点上，信号 的值是无意义的. 这里的这里的“ “连续连续” ”只是只是“ “离散离散” ”的反义词，与数学分析里的反义词，与数学分析里 面，函数的连续的概念不一样。面，函数的连续的概念不一样。 许多情况下离散时间信号是由连续时间信号等间许多情况下离散时间信号是由连续时间信号等间 隔取样得来的，但是现实生活中，有些信号本身隔取样得来的，但是现实生活中，有些信号本身 就是离散信号。并且，离散时间信号也并不总是就是离散信号。并且，离散时间信号也并不总是 要求在实际时间上等间隔。要求在实际时间上等间隔。 严格地说，离散时间信号与我们常说的数字信号严格地说，离散时间信号与我们常说的数字信号 是有区别的。这里所定义的离散时间信号的定义是有区别的。这里所定义的离散时间信号的定义 域是离散的，但是它的值域却可以是复数域。域是离散的，但是它的值域却可以是复数域。 如果将离散时间信号的值域进一步量化，并且按如果将离散时间信号的值域进一步量化，并且按 照某种方式进行编码，就会得到大家熟悉的数字照某种方式进行编码，就会得到大家熟悉的数字 信号。信号。 量化噪声量化噪声 严格地讲，并不是所有的实数都可以被数字系统严格地讲，并不是所有的实数都可以被数字系统 处理或者存储处理或者存储 数字系统或者数字计算机的字长是有限的。因此数字系统或者数字计算机的字长是有限的。因此 从严格的数学意义上来讲，本书所定义的离散时从严格的数学意义上来讲，本书所定义的离散时 间信号，是无法在数字系统里面实现的。间信号，是无法在数字系统里面实现的。 在工程上，用计算机来处理信号时，可能意识不在工程上，用计算机来处理信号时，可能意识不 到这一点。我们往往用一个一维数组来保存一段到这一点。我们往往用一个一维数组来保存一段 一维信号，例如一维信号，例如intint MyVoice1024 MyVoice1024。总之，工程。总之，工程 上的信号处理是理论上的信号处理的一个逼近。上的信号处理是理论上的信号处理的一个逼近。 本书以讨论理论上信号处理为主。本书以讨论理论上信号处理为主。 下面我们讨论一下信号的能量和功率。下面我们讨论一下信号的能量和功率。 )( 1 )()()()( 22 tu R tRititutp= = 2 1 2 1 /)()( 22 t t t t RdttudttRi 2 1 )( 1 2 12 t t dttRi tt 连续时间信号的连续时间信号的能量能量能量能量能量能量能量能量(Energy)(Energy)定义为：定义为： = 2 1 2 | )(| t t dttxE 离散时间信号的离散时间信号的能量能量能量能量能量能量能量能量定义为：定义为： = = 2 1 2 | | n nn nxE 连续时间信号的连续时间信号的总总能量能量能量能量能量能量能量能量(Energy)(Energy)定义为：定义为： =dttxE 2 | )(| 离散时间信号的离散时间信号的总总能量能量能量能量能量能量能量能量定义为：定义为： = = n nxE 2 | | 连续时间信号的连续时间信号的总的总的平均功率平均功率平均功率平均功率(Average Power)(Average Power) 定义为：定义为： = T TT dttx T P 2 | )(| 2 1 lim 离散时间信号的离散时间信号的总总平均功率平均功率平均功率平均功率定义为：定义为： = = + N Nn N nx N P 2 | | 12 1 lim 典型的能量有限信号 面积有限 功率有限，总能量无限。 功率无限，总能量无限。 1.21.2自变量的变换自变量的变换 信号自变量的变换就是函数自变量的变换。信号自变量的变换就是函数自变量的变换。 它既基础又简单，但同时也是最容易出错它既基础又简单，但同时也是最容易出错 的地方，需要读者细心体会。的地方，需要读者细心体会。 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 时间反转时间反转时间反转时间反转 )(tx )(tx 1.2. 21.2. 21.2. 21.2. 21.2. 21.2. 21.2. 21.2. 2时间的尺度变换时间的尺度变换时间的尺度变换时间的尺度变换 )(tx)2(tx )2/(tx 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 时间移位时间移位时间移位时间移位时间移位时间移位时间移位时间移位 )(tx)( m ttx)( m ttx+ 例题例题例题例题例题例题例题例题1.11.11.11.11.11.11.11.1 分析以下信号波形的自变量变换。分析以下信号波形的自变量变换。 )(tx ) 1( +tx )1 (tx )(tx)(tx)1 ()1(txtx= )(tx)(atx ) 1()/1(+=+atxatax 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性信号的周期性和奇偶性 本小节我们讨论信号的周期性和奇偶性。这两种性本小节我们讨论信号的周期性和奇偶性。这两种性 质都是信号的基本属性。质都是信号的基本属性。 1.3.1 1.3.1 周期信号周期信号 )()(Ttxtx+= )()(Ttxtx+= Tt+ )2()()(TtxTTtxTtx+=+=+ )()(mTtxtx+= 这个最小正周期也称为周期信号的基波周期(Fundamental Period)。 mNnxnx+= Nnxnx+= 没有有界周期的信号就是非周期信号(Aperiodic Signal或者nonperiodic signal)。 1.3.21.3.21.3.21.3.21.3.21.3.21.3.21.3.2奇信号与偶信号奇信号与偶信号奇信号与偶信号奇信号与偶信号 )()(txtx= 偶信号 )()(txtx= 奇信号 任何信号都可以分解为它的奇部和偶部之和任何信号都可以分解为它的奇部和偶部之和任何信号都可以分解为它的奇部和偶部之和任何信号都可以分解为它的奇部和偶部之和 )()()(txOdtxEvtx+= )()( 2 1 )(txtxtxEv+= )()( 2 1 )(txtxtxOd= 1.41.41.41.41.41.41.41.4指数信号指数信号指数信号指数信号 1.4.11.4.11.4.11.4.11.4.11.4.11.4.11.4.1连续时间复指数信号连续时间复指数信号连续时间复指数信号连续时间复指数信号 at cetx=)( 复指数信号复指数信号 0a 0 = t t tu 单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号 狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数狄拉克函数 0)(0=tt， 1)(= dtt )(t 单位冲激信号单位冲激信号 另外一个定义另外一个定义 dt tdu t )( )(= )(tu )(t dt tdu t )( )( = dt tdu tt )( )(lim)( 0 = )(t 积分性质积分性质 = t dtu)()( nnu = = n m mnu 1=nunun )(tu)(t dt tdu t )( )(= = t dtu)()( 选择性质选择性质 )(tx )()(ttx )()(lim)()( 0 ttxttx = )()0(lim 0 tx = )()0(tx= )()()()( 000 tttxtttx= 试用阶跃信号来表示下图所示的信号。试用阶跃信号来表示下图所示的信号。试用阶跃信号来表示下图所示的信号。试用阶跃信号来表示下图所示的信号。 1 2 3 5 3 2 1 )()()(btMuatMutx= M a b )5()3(+tutu )5()3(2)2(4) 1()(2)(+=tutututututx ) 1(2)(2)(=tututx )2(3) 1(3+tutu )3()2(tutu 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 系统系统系统系统 系统S )(tx 输入/激励 )()(txSty= 输出/响应 )()(txSty= )()(tytx 离散时间系统离散时间系统 连续时间系统连续时间系统模拟系统模拟系统 数字系统数字系统 系统的系统的级联级联级联级联级联级联级联级联 1 S 2 S )(tx )( 1 tx )(ty )()()()( 121212 txSStxSStxSty= 12S S 系统的系统的并联并联并联并联并联并联并联并联 1 S 2 S )()()()()( 1221 txSStxStxSty+=+= 12 SS+ )( 1 txS )( 2 txS )(tx)(ty 系统的级联与电路的串联虽然在形式上差不多，但实际上并系统的级联与电路的串联虽然在形式上差不多，但实际上并 不是一回事。不是一回事。 )()()( 21 tiRtiRtu+= 1.7 1.7 系统的基本性质系统的基本性质 1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 1.7.1 记忆性质记忆性质记忆性质记忆性质 如果一个系统的每一时刻的输出信号的值仅仅取决于该时刻的 输入信号的值，则称该系统称为无记忆系统无记忆系统无记忆系统无记忆系统(Memoryless Systems)；反之称为记忆系统记忆系统记忆系统记忆系统(Systems with Memory)。 )( 0 ty)( 0 tx )( 1 )(tu R ti= 无记忆系统 = t di C tu)( 1 )( 记忆系统 储能元件储能元件 1.7.2 1.7.2 1.7.2 1.7.2 1.7.2 1.7.2 1.7.2 1.7.2 可逆性可逆性可逆性可逆性( (InvertibilityInvertibility) ) 可逆系统可逆系统 不可逆系统不可逆系统 ? 可逆系统是一个可逆系统是一个一对一一对一的变换，它总存在一个的变换，它总存在一个逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统 (Inverse System)(Inverse System)，使得两者级联后，成为恒等系统。，使得两者级联后，成为恒等系统。 1 S S )(tx )(ty )(tx 恒等系统 可逆系统是一个可逆系统是一个一对一一对一的变换，它总存在一个的变换，它总存在一个逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统逆系统 (Inverse System)(Inverse System)，使得两者级联后，成为恒等系统。，使得两者级联后，成为恒等系统。 如果一个系统在不同的输入信号的激励下，必然会导致不 同的输出信号，则该系统称为可逆系统可逆系统可逆系统可逆系统 等价命题 1 S S )(tx )(ty )(tx 恒等系统 )(ty S 互为可逆的系统 )(2)(txty=2/ )()(txty= 可逆系统 )()( 2 txty=0)(=ty 不可逆系统 = = n k kxny ny 1 ny 1nxnyny= 1=nxnxny 互为逆系统 积分 微分 互为逆系统 累加 差分 互为逆系统 1.7.3 1.7.3 1.7.3 1.7.3 因果性因果性因果性因果性(Causality)(Causality)(Causality)(Causality) t )( 0 ty = = n k kxny 无记忆系统 因果因果系统 + = = 1 n k kxny ) 1()()(+=txtxty 非因果非因果系统 1991 2029 在实时的情况下，实际系统大都是因果的 静止图像的自变量是空间坐标，因此，涉及的系统可以是非因 果系统。 在自变量不是实时时间的情况下，例如：在事后分析、离线的 地震波分析、探伤信号分析等等工作中，许多算法和系统也可 以是非因果系统。 1.7.4 1.7.4 1.7.4 1.7.4 1.7.4 1.7.4 1.7.4 1.7.4 稳定性稳定性稳定性稳定性稳定性稳定性稳定性稳定性(Stabilization)(Stabilization) 有界有界信号 MtxtM 例题例题2.32.32.32.3 已知给定的LTI系统的输入信号为 ， )()(tuth= )(ty 该系统的单位冲激响应为 试求该系统的输出信号 )()(tuetx t = )()(tuth= dthxty)()()(= 解解： )(x )(h )(h )(th t )(h )(h)(th t 0t dthxty t )()()( 0 = = t de 0 t e 0 | = )1 ( 1 t e = )()1( 1 )(tuety t = )(ty /1 2.3 2.3 2.3 2.3 卷积的性质卷积的性质 2.3.12.3.12.3.12.3.12.3.12.3.12.3.12.3.1交换律交换律交换律交换律(Commutative Property)(Commutative Property) 引入了卷积的概念以后，本节介绍卷积 算子的基本性质。 = = k knhkxnhnx* knr= = = r rhrnx *nxnh= dthxthtx)()()(*)(= = = t )()(dhtx dhtx)()( =)(*)(txth= = = r rnxrh 常量 常量 类似于乘法运算，卷积运算也服从交换律，即 *nxnhnhnx= )(*)()(*)(txththtx 利用卷积的交换律，可能会大大简化卷积的计算过程。 在Matlab中，卷积计算函数conv只能计算有限长度序列的卷 积，而且默认这些序列是从0开始的，所以，一旦遇到起始点 不为零的序列进行卷积的情况，我们必须利用LTI系统的时不 变性，将序列的起始点移位到0，卷积完成以后再移位回来。 *nhmnxmny= *mnhnxmny= 利用时不变性，我们有： 再利用交换律，我们有： *nhnxny= 例题例题2.32.32.32.3 求卷积： 2 1 1+=nnnnnx 5432+=nnnnnh 解解： 下面我们将举例说明，两个起始点不为0的序列的卷积。 nx 0 1 nx 0 0 nh 0 2 +nh 121=+=nznzny 1 nx2 +nh 起始点为零的序列。 2* 1+=nhnxnz 65243 3423 12 + += nnn nnnnnz 2* 1+=+nhnxnz *21nynhnxnz=+ 7625344 3322 1 + += nnnn nnnny )1()()1 ()( 1 +=tututtx )2() 1()( 2 =tututx )(*)()( 21 txtxty= 例题例题2.52.52.52.5 已知信号已知信号 求卷积求卷积 1 2 3 )( 1 x )( 2 tx 0)(=ty 1t 解解解解2:2:2:2:2:2:2:2: )(*)()( 21 txtxty= ) 1(*)() 1( 21 +=+txtxty 1 2 3 )( 1 x 0) 1(=+ty 0t 0)(=ty 1t * 2121 nhnxnhnxnhnhnx+=+ )(*)()(*)()()(*)( 2121 thtxthtxththtx+ 类似于乘法运算，卷积计算对加法还具有分配律 2.3.2 2.3.2 2.3.2 2.3.2 分配律分配律(Distributive Property) 利用卷积运算的分配律，我们可以简化两个LTI系统的并联。 1 nh nx ny nx ny 21 nhnh+ 2 nh 21 nhnhnxny+= 21 nhnxnhnxny+= 2.3.3 2.3.3 2.3.3 2.3.3 2.3.3 2.3.3 2.3.3 2.3.3 结合律结合律结合律结合律(Associative Property)(Associative Property) 通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计 算还服从结合律，即算还服从结合律，即 2121 nhnhnxnhnhnx= )(*)(*)()(*)(*)( 2121 ththtxththtx nx 1 nh * 1 nhnx 2 nh * 21 nhnhnxny= nx 1 nh* 2 nh ny nx 2 nh* 1 nh ny nx 1 nh 2 nh ny * 21 nhnhnxny= 1 R 2 R1 R 2 R 1 C 2 C 1 C 2 C 1 R 1 C 2 R 2 C 2.4 LTI系统的性质 本节用卷积算子来重新讨论一下LTI系统的性 质。我们将看到，可以用单位冲激响应的 性质来描述LTI系统的性质。 LTI系统可以由其单位冲激响应或者来刻划 或者说描述。 下面通过冲激响应与系统性质的关系，进 一步说明这个观点。 2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI2.4.1 LTI系统的记忆性质系统的记忆性质系统的记忆性质系统的记忆性质 系统就是对信号的变换. )()(txSty= 从函数集到函数集的映射 无记忆系统：一个系统的每一时刻的输入仅仅取决于该时刻 的输入。 C CS R RS 数值（输入信号的值）数值（输出信号的值） 无记忆系统 变换 从一个函数集到函数集的映射，退化为一个复数集到 复数集（或者是实数集到实数集）的映射。 进一步地，无记忆的LTI系统还具备线性： )()(tKxty=nKxny= )()(tKth= nKnh= LTI系统无记忆的必要条件 任何信号与冲激信号的卷积的结果都是该信号本身，所 以，上式也是LTI系统无记忆的充分条件。 LTILTILTILTI系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应 与单位冲激信号成正比。与单位冲激信号成正比。 一个反例来说明这个必要条件 = = k knhkxny 1+=nnnh = = += kk knkxknkxny1 1+=nxnx 2.4.2 LTI2.4.2 LTI2.4.2 LTI2.4.2 LTI系统的可逆性系统的可逆性 )(*)(ttx =dtx)()( =dttx)()( )(tx= )()()(txttx= *nxnnx= =dttx)()( 恒等系统的单位冲激响应就是单位冲激信号。卷积运算里面， 单位冲激函数的地位，相当于1在乘法里面的地位。 利用时不变性 )()(*)( 00 ttxtttx= * 00 nnxnnnx= 、 下面我们再来讨论LTI系统的可逆性 )(tx )(ty )(tx )(tx )(tx )(th )( 1 th )()(*)( 1 tthth= LTILTILTILTI系统为可逆系统的充要条件是：系统为可逆系统的充要条件是： )()(*)( 1 tthth= * 1 nnhnh= 例题例题2.72.72.72.7 求延时器)()( 0 ttxty=的逆系统 解解： )()(*)( 00 ttxtttx= )()( 0 ttth= )()()(*)( 0000 tttttttt=+=+ )()( 0 1 ttth+= )()(*)()( 00 ttxtttxty+=+= )(*)()( 0 tttxty= = = n k kxny 例题例题2.82.82.82.8 试确定累加器 的逆系统。 解解： n k nunxkxny n k = = 单位冲激响应 1nnunu= 1*=nnunnu * 1 nnhnu= 1*=nnnu 1 1 = nnnh ? 公因式 可得累加器的逆系统的解析表达为 1 nhnxny = 1=nxnx 求和运算的逆过程就是差分运算 2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI2.4.3 LTI系统的因果性系统的因果性系统的因果性系统的因果性 nynkkx = = k knhkxny nk0=knh kn00=knh 0, 0=Nn 长度为长度为N N N N的序列的序列 当当 或者或者 周期延拓周期