时域离散信号和时域离散系统数字信号处理第三版 _课程辅导及课后习题详解.ppt

第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 学习要点与重要公式 1.2 解线性卷积的方法 1.3 例题 1.4 习题与上机题解答,1.1 学习要点与重要公式 本章内容是全书的基础，因此学好本章是极其重要的。数字信号和数字系统与模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数字系统则通过运算方法实现。,1.1.1 学习要点 （1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期性的， 其周期如何计算；序列的运算； （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果性、 稳定性； 线性时不变系统输入和输出之间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、解析法； 线性卷积的运算律以及意义；时域离散系统的输入输出描述法：线性常系数差分方程以及递推解法。,1.1.2 重要公式 （1）,这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在之间对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。,（2） x(n)=x(n)*(n) 该式说明任何序列与(n)的线性卷积等于原序列。 x(nn0)=x(n)*(nn0),1.2 解线性卷积的方法 解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。,解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 ,例 已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题） 解： 这也是一个计算线性卷积的题目， 只不过要先求出x(2n)。 解该题适合用列表法(图解法)。 x(2n)=1, 1, 1, 0.5 y(n)=x(2n)*x(n) =1, 2, 3, 3, 3, 3, 2.75, 2, 1, 0.25 绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。,1.3 例 题,图1.3.4,1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1) +2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 给定信号： 2n+5 4n1 6 0n4 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因为= , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为= , 所以 =16, 这是无理数， 因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)= x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？,解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。,题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0) n0为整常数 （4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n) 解： （1） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n),故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。,（2） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tx1(n)=2x1(n)+3 Tx2(n)=2x2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是非线性系统。,(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(nn1) 输出为 y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延时器是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。,(4) y(n)=x(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(n+n0) y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系统是线性系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系统是非时变系统。,（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x2(nn0) y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。,（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)2) y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（7） y(n)= x(m) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)= x (m-n0) y(nn0)= x(m)y(n) 故系统是时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)= ax1(m)+bx2(m) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（8） y(n)=x(n) sin(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系统不是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)= x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。,（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故,y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5),8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0m3 4mn,根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n 4n7 y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如题8解图（二）所示,y(n)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5n R5(m)0.5mu(nm) y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时，,=(10.5n1)0.5n=20.5n, n5时,最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+31×0.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明： （1） 因为 令m=nm, 则,(2) 利用上面已证明的结果， 得到,交换求和号的次序， 得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。,解：,n=0时，,n0,n=1时，,n=2时，,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解： 令x(n)=(n), 则,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,归纳起来， 结果为,12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为 y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,任意 n 时，,最后得到,(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,任意 n 时，,最后得到,由（1）和（2）得到 y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1) y1(n)=y2(n1) 因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式； （3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期为,（2）,（3） x(n)的数字频率=0.8， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2) 画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应； （2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。 解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即,（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。,作业: P30: 5(5), (6); 9 (2), (3); 12,