高考数学总复习精品课件（苏教版）：第三单元第三节 对数与对数函数.ppt

第三节 对数与对数函数,基础梳理,1. 对数概念 (1)定义:一般地,如果 ,那么b叫做以 ,记作 ,其中a叫做对数的 ,N 叫做 . (2)对数性质 没有对数,即 ; 1的对数为0,即 ; 底的对数等于1,即 .,以a为底N的对数,底数,真数,零和负数,N0,(3)对数恒等式: .,10为底的对数,lg N,(4)常用对数:通常将以 叫做常用对数,N的 常用对数 简记为 .,(5)自然对数: 称为 自然对数,N的自然对数 简记作 .,以无理数e=2.718 28为底的对数,2. 对数的运算性质 (1) = ; (2) = ; (3) = 其中a0,a1,M0,N0,nR.,-1,1,4. 对数函数的定义:一般地,函数 叫做 对数函数,它的定义域为 ,值域为R.,(0,+),5. 对数函数的图象与性质,(0,+),R,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,x轴,1,0,典例分析,题型一 对数的运算 【例1】求下列各式的值.,分析 关于对数运算的题目，往往需要利用对数的运算性质、对数 恒等式、换底公式等进行变形和求解。,(2)由题意可得x0,y0,x2y， 又 所以 解得x=4y(x=y舍去)。所以 所以,学后反思 （1）熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对 数恒等式是进行化简、求值的关键，应用时务必要创造出 适合公式或性质应用的条件； （2)解问题（2）时要注意隐含在题目中的条件：x2y0, 否则将导致 的值出错。对数问题首先注意真数大于零。,举一反三,解析,(2)根据对数的运算法则，原等式可化为,整理得 配方得,题型二 对数概念及运算性质的综合应用,【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且. 求证:,分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对 数的运算.,证明 设,学后反思 本题主要考查了两点: (1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化 (2)换底公式的应用: (a0,a1,N0,N1).,举一反三,2. 设x,y,zR+,且 (1)比较3x,4y,6z的大小; (2)求证:,解析: (1)令 ,则k1, ,k1, ,3x-4y0.同理4y-6z0. 3x4y6z.,(2)证明：由(1)得,题型三 对数函数的图象与性质,【例3】方程 的实数解 的个数为.,分析 先将方程变形，在同一坐标系中分别画出函数 与的图像，然后观察交点的个数，交点 个数即为方程的个数。,解 由 得 由0-4. -2x-8, a-8 由 设,y=a (a-8) 由图像可知： 当a1时，方程有两个不等的实根， 当-8a0或a=1时，方程有一个实根.,举一反三,3. 方程 的实根的个数为_.,解析 在同一坐标系中作出函数 与 的图象,如图所示.观察可知共有两个不同交点.,答案： 2,【例4】 设00,a1,比较 的大小.,分析 本题有作差法与作商法两种思路:(1)若m-n0,则 mn;(2)对于m0,n0,若 ,则mn.,解 方法一:0x1, 11+x2,01-x1.,方法二,学后反思 (1)本题差比时注意讨论a1与0a1两种情况， 依据对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值 与0的关系. (2)商比法注意要比较的两式均同号，作商与1比较.本题是含 有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对 值符号，根据对数函数的性质比较与1的关系.,举一反三,4. 已知0xya1,则下列式子中正确是_.,解析：,题型四 对数函数性质的综合运用,【例5】(14分)已知 (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性.,分析 利用函数的性质,结合指数函数、对数函数知识进 行求解.,解 (1)由 得 ,当a1时,x0;,当01时,f(x)的定义域为(0,+); 当01时,设 ,7 故 ,9 .10 故当a1时,f(x)在(0,+)上是增函数12 同理,当0a1时,f(x)在(-,0)上为增函数14 ,学后反思 (1)含参数的对数问题必须要注意对底数“1” 还是“1”的讨论; (2)讨论函数单调性时,应注意复合函数单调性“同增异 减”的原则.,举一反三,5. （2009·南京模拟）已知函数 (a0,且a1). （1）求f(x)的定义域； （2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明. (3)求使得f(x)0成立的的取值范围,解析: (1)由题意知 ，解得函数f(x)的定义 域为（-1，1）。,(3)当a1时，有对数函数的单调性可知 而11时，x的取值范围为（-1，0）； 当0a1时，x的取值范围为(0,1),易错警示,【例】 已知 上是x的减函数，求a的取值范围.,错解 是由 复合而成，且 a0， u=2-ax在0,1上是x的减函数， 由复合函数关系知 应为增函数 a1,错解分析 解题中虽考虑了对数函数与一次函数的复合关系， 却忽略了定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间， 即函数应在0,1上有意义。,正解 是由 复合而成的， 且a0,u=2-ax在0,1上是x的减函数， 由复合函数关系知 应为减函数， a0 又当x0,1时， 有意义，且 为减函数 当x=1时， 的最小值 即可 a2 综上可知，所求的取值范围是1a2,考点演练,10.设a,b,c均为正数，且 判断a,b,c的大小关系,解析： 方法一：如图，由函数,方法二：a0, 又,的图像知：0ab1c,11.已知过原点O的一条直线与函数 的图象交于A、 B两点,分别过A、B作y轴的平行线与函数 的图象交 于C、D两点. (1)求证:点C、D和原点O在同一直线上; (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.,解析 (1)证明：设点A、B的横坐标分别为 . 由题设知 则点A、B的纵坐标分别为 .因为A、B在过点O的 直线上,所以 点C、D的坐标分别为,由于 所以OC的斜率为 OD的斜率为 由此可知 即O、C、D在同一直线上.,(2)由BC平行于x轴,得 即 ,所以 , 代入 得 由 考虑 所以 ,于是点A的坐标为,12（2010·潍坊质检）已知函数 是奇函数（a0且a1). (1)求m的值； (2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明； (3)当a1，x(1, )时,f(x)的值域是(1, +)，求a的值。,解析: （1）f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立 即 恒成立， m=-1或m=1（舍去），m=-1,（2）由(1)得 任取 令 ，则 ；,综上，当a1时，f(x)在(1, +)上是减函数; 当0a1时,f（x)在(1,+)上是增函数。,(3)当a1时,f(x)= 在 上为减函数，要使f(x)在 上值域为(1，+),即 只需 在 恒成立,令 在 上是减函数， 所以 此时,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am· qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 ak·al= am·an. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=1×37=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1.(2009·潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=2×2n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)； (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010·合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2， a17+a18+a19+a20=S4×24=1×24=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009·潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）. (1)判断an是何种数列，并给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1·b2··b20; (3)若b3·b5=39,a4+a6=3,求b1·b2··bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1·qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3·b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010·临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列， 其中 ,即 , , 当n2时，,即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解 依题意，设这四个数为 , ,aq, , 则 , , 由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题 过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里. 正解 依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 解得 或,考点演练,10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求,解析： 由等比数列性质得， , , , 成等比数列， 则 由 得 ,又 解得,11. (2010·惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值； （2）若 ，求n的值.,解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.,12. (2009·全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式.,解析： (1)由 及 ,得 ,即 , , 当n2时， . -得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得 =3× , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即,