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构造向量解数学问题的一些应用 摘要 本文对中学的距离、面积、体积和不等式求解证明等问题利用向量来求解证明，并对向量的应用作简单归纳总结.能培养学生的创新思维能力.关键词 向量；距离；面积；体积；柯西不等式向量作为数学的重要工具，有着广泛的应用，是数形结合的一个重要工具，是一种很好的数学研究方法，并且列入到高中数学教材，有利于发展中学生的思维能力和激活创新思维.向量是研究代数和几何之间的桥梁和纽带，利用向量解决代数问题和几何问题，常常能使一些复杂的问题简单化构造向量法解题对给定的一个数学问题,只有对其结构特征进行了认真的观察、研究、确认和向量具有某些联系,才能用构造法来解，且利用构造向量来解答，证明会有意想不到的效果.本文运用向量工具对几个数学问题进行一些应用. 一.平面上点到直线距离公式向量的数量积作为向量乘法一种重要运算，在向量理论中占有十分重要的位置，对求平面、空间距离十分有效. 设平面上一条直线，在平面上，为直线的单位法向量，是直线外平面上一定点，求P到直线的距离.解 从图1容易可知，有几何射影的意义，得 因为由此，我们想到中学的点到直线的距离公式 图 1现在，我们用向量方法来证明它.证明 如图2，假设直线：，取它的方向向量,为直线的法向量.设，因为 所以，故称为直线的法向量，与单位向量于是，点即为直线：的距离等于向量在方向上射影的长度： 又因为为上任意一点，所以，故那么，点到面的距离又怎么求呢？下面我们探讨一下：二空间中点到平面距离设同在一个平面上，点,求点P到平面的距离。解 取平面内任意点F，有向量，我们知道平面的法向量为，找点P在上的射影M，则有/,且|为所求的距离，于是.利用以上的基本方法，可以通过构造向量法，有效地解决平面、空间上的距离问题.三.构造向量求方程的解求方程的解，一般是用代数的方法来求解。换另一种思维思考，观察方程的特征，通过构造向量，有时也能简化无理方程来求方程的解.例1解方程解：将原方程变形为构造向量=（-1,3）及=（-2,-2）,则=（1，5），=，所以 ，即向量与向量平行且方向相反，则，展开得解之得 =.四.构造向量证明不等式 不等式的证明往往是比较困难的，但根据问题的结构特点，通过构造向量使问题可以简化，问题就容易解决了.例2 若 ,求证：证明 设， ， ，则 +=（2，2）， ，将代入，即可得.例3 若及均为实数，求证：证明 构造向量及向量，则 ，将代入，即可得.例4 设x，yR，求证：证明 原不等式配方得.构造向量 = (x - 8， y -3) 及 = (x - 2， y + 5)，则 -= (-6，-8)， ，将代入，即可得到.例5 已知：，,求证：证明 构造向量=及=，则=,由于，则.例6 证明柯西不等式：证明 在欧式空间中，设，我们知道 ，而，则从而得.两边平方得.在数学分析中我们学过了柯西不等式，用积分证明比较困难，而用向量来证明使问题简单化.五构造向量证明等式例7 设x，y，z，a，b，cR，且, 求证： .证明 构造向量及 =，则=，由及已知条件可知，即、的夹角为0 或p由向量共线的充要条件即可得到结论六.构造向量求面积 利用向量的向量积可以解决有关面积计算.如解三角形的面，以为邻边的三角形的面积为，对于多边形的面积计算，可以分割成多个三角形，在求它们积之和.如图所示，边形，可以分割成个三角形则有：这里合理分割成三角形，灵活应用向量的线性运算和向量的内外积.七.巧用向量的混合积求体积 利用向量的混合积，解决有关体积的计算。设为三个不共面向量，且两两不共线，V 以为相邻三条棱的四面的体积为 若棱锥顶点A是空间一定点，并且知道高向量，利用上面的面积求法求出底面面积，则有.八.构造向量求解解析几何问题例8 设椭圆的焦点为,点是其上的动点，当为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围解 由题设可知设动点的坐标为，构造向量，.因为 为钝角，所以有即，与椭圆方程联立可得 的取值范围为.例9 一个圆的一条直径的两个端点分别是、，证明圆的方程是.证明 设为圆上的任意一点，则向量由于,因此，即.例10 求连结两点和线段的垂直平分面的方程.解 设为平分面的任意一点，从条件的特征性质可知：.而从而得化简得 即为所求的垂直平分面的方程.九.构造向量解立体几何问题 用向量法解立体几何题，把复杂的逻辑推理化为简单的向量运算.使解题过程简易明了.例11 在棱长为4 的正方体中,是正方形的中心,点在棱上，边.试求(1)直线与平面所成的角的大小;(2)设点在平面上的射影是，求证：.解 （1）因为平面，所以与平面所成的角就是.如右图建立空间直角坐标系,坐标原点是.且 即.所以直线与平面所成的角为.（2）连结由(1)有且 因为平面的斜线在这个平面内的射影是. 总述，向量作为重要数学工具之一，是代数和几何之间的桥梁.运用构造向量法解题是一种创造性的思维活动.它需要我们根据所研究的问题的结构特征，运用类比、联想等方法，灵活地将问题迁移到新问题中去，活用内积，外积，混合积，向量的线性运算等知识，若我们经常有意识的进行这方面的训练，对培养思维能力，提高解题能力有很大的益处.参考文献1吕林根，许子道等编.解析几何（第三版）M.北京：高等教育出版社，1987.4.2张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第四版）M.北京：高等教育出版社，1999.3郭会平. 构造向量解代数及几何问题J.天中学刊. 2004年第2期.4严士健，王尚志等编.普通高中课程教科书.数学（必修4）M.北京：北京师范大学出版社.2004.7 第 页（共7页）