关于对常微分方程中积分因子的研究 毕业论文.doc

毕 业 论 文论文题目：关于对常微分方程中积分因子的研究姓 名： 学科专业：数学教育指导教师： 完成时间：2011年 5 月 20 日摘 要研究了四种一阶微分方程的积分因子存在的充要条件，主要通过一些特殊变形的方法来得到这四种类型的常微分方程积分因子的通解，具体可以分为： 及，四种类型各有特点但又互有联系。关键词：常微分方程；积分因子；充要条件目录 第一章 引言1第二章 四类常微分方程积分因子的存在充要条件22.1 22.2 32.342.45参考文献7第二章 四类微分方程积分因子的充要条件第一章 引言一阶微分方程 （1.1）的积分因子的形式，其一，其求解方法是根据类型确定解法，其中一类是全微分方程，所谓全微分方程就是方程（1.1）的左端恰为某个方程的全微分。我们知道方程（1.1）是全微分的充要条件是当此不满足的时候，方程（1.1）就不是全微分方程，此时若有一个恰当的函数使方程（1）两端乘以后所得的方程 （1.2）为全微分方程，则称函数为方程（1.1）的积分因子。 积分因子存在的充要条件： 如何求方程（1.1）的积分因子？一下就是关于为积分因子的充要条件，微分方程 （1.3）为全微分方程的充要条件是： 即 （1.4） 上式可以整理到 （1.5）所以为方程（1.1）的积分因子的充要条件是为方程的解。以上只是一般的微分方程的积分因子的求法，在越来越多的题型中我们会遇到很多没有见过的题型也可以用求积分因子的方法来求解，可是不同的题型积分因子的形式也将是不同的，接下来我将介绍几种不同的题型的积分因子的求解。第二章 四类微分方程积分因子的充要条件2.1 定理2.1一阶微分方程具有为积分因子的充要条件是： （2.1.1） 证明：假设积分因子为，则为全微分方程则有 （2.1.2）令， 则有 （2.1.3）即 （2.1.4）进一步整理可以得到 （2.1.5）当时，有 （2.1.6） （2.1.7）例1求的积分因子及通解。解：所以 . （2.1.8）则原方程变为为全微分方程。取则有 （2.1.9）整理得：为通解。2.2 定理2.2 一阶微分方程具有形为积分因子的充要条件是： （2.2.1）（其中a, b不同为0的常数）证明：令则 （2.2.2）即为 （2.2.3） ， （2.2.4） （2.2.5）若 (2.2.6)2即 (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) （2.2.10）此时，积分因子为 （2.2.11）2.3 定理2.3 一阶微分方程具有形如的积分因子的充要条件为 （2.3.1）（其中a, b为任意常数）。证明 令则可化为 （2.3.2） （2.3.3） （2.3.4） （2.3.5） （2.3.6） （2.3.7）所以 （2.3.8） （2.3.9）2.4 定理2.4一阶微分方程具有形如的积分因子的充要条件为 。 （2.4.1）证明：令即 （2.4.2） （2.4.3）若 （2.4.4） （2.4.5） （2.4.6） （2.4.7） （2.4.8）所以 （2.4.9）此时微分方程的积分因子为 （2.4.10）从理论上讲，运用积分因子可以获得一阶微分方程的一般解法，本文总结并给出了四类积分因子的充要条件和相关的例题，具体可以分为四种类型各有特点，但又互相关系，但是最主要的还是我们在做题的过程中要细心的观察每个方程的特点，分析出是属于哪个方程的类型，并求出相应的积分因子，然后以本文类型对应方程的结论进行求解。6参考文献1 王高雄，周之铭，朱思铭， 常微分方程M 高等教育出版社，1982.2 东北师范大学数学系。 常微分方程M 北京高等教育出版社, 1983.10.3 汤光宋， 一类齐次微分方程的通解定理J 长沙大学学报J, 2002.164 刘会民， 有关一阶微分方程积分因子的计算J 辽宁师范大学学报J, 2003.26（3）5 丁同仁， 李承治 . 常微分方程教程M 高等教育出版设, 1991.致谢这篇论文最终能顺利完成，首先应该感谢我的指导老师桂旺生老师自始至终给与的关心和指导.无论是在论文的选题、开题，还是写作阶段，桂老师都加以悉心的指导.老师严谨的治学作风深深地影响着我.衷心感谢各位老师，在我大学阶段里，给我提供了巨大的物资和精神支持，使我顺利完成了学业.在论文的写作过程中，很多同学为我提供了很多帮助，值此机会向他们表示诚挚的谢意.本论文的写作参考、引用了一定的书籍和文献，在此向这些文章的作者表示深深的谢意.感谢我的父母和亲人，正是有了他们的关心和支持，我的学业得以顺利完成.最后，再次感谢所有关心和爱护我的老师、亲人、同学和朋友！