数学毕业论文-浅谈积分因子的求解法.doc
新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计） 2014届本科毕业论文（设计） 题目：浅谈求积分因子的方法 学 院：数学科学学院 专业班级：数学09-3班学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2014年5月8日 新疆师范大学教务处目 录1. 引言31.1恰当微分方程的定义31.2恰当微分方程的充要条件3 积分因子42.1积分因子的定义42.2积分因子存在的充要条件43. 几种形式的积分因子53.1具有形式的积分因子53.2具有形式的积分因子53.3具有形式的积分因子63.4具有形式的积分因子74. 总结8参考文献9致谢10浅谈求积分因子的方法摘要：在本文中主要讨论了积分因子及其求积分因子的方法。对于恰当微分方程我们可以通过积分求出它的通解，但是大家都知道所有的微分形式的一阶方程并不是恰当微分方程，因此在这里我首先给出恰当微分方程的定义和充要条件来引进了积分因子的定义和充要条件，其次还有讨论几种形式的积分因子的求解法，最后通过给出几个应用例子来进一步讨论了求积分因子的方法和技巧。 关键词：恰当微分方程；积分因子；一阶微分方程1. 引言微分方程是现代数学的一个重要分支，不仅是人们解决各种实际问题的有效工具，也是表达自然规律的一种自然的数学语言.对于恰当微分方程我们可以通过积分求出它的通解，但是大家都知道所有的微分形式的一阶方程并不是恰当微分方程，因此能否将一个非恰当方程化为恰当微分方程就有很大的意义. 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.1.1恰当微分方程的定义 如果微分方程形式的一阶方程 的左端恰好是一个二元函数的全微分，即 则称恰当微分方程，而函数称为微分式的原函数. 如果是全微分方程，则它的通积分为 .设是的任一解，则有，从而,即满足.反之，对于满足的任一函数，则它一定满足，即是的解.1.2恰当微分方程的充要条件 如果方程中的和在矩形区域上连续可微，则方程是恰当微分方程的充要条件是在R上有. 积分因子2.1积分因子的定义 如果方程不是恰当微分方程，若存在连续可微的函数，使得方程 是恰当微分方程，其中在矩形区域 上连续函数，且有连续的一阶偏导数，则称 是方程 的积分因子.2.2积分因子存在的充要条件 函数 是方程 的一个积分因子的充要条件是 例如：方程 可以有不同的积分因子，. 可见只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.因此，在具体解题过程中由于求出的积分因子不同而通解可能具有不同的形式.3. 几种形式的积分因子3.1具有形式的积分因子方程有形式为 的积分因子的充要条件是 ，这里的仅为的函数你，于是积分因子为.证明 必要性 . 若方程 存在只与有关的积分因子，则有，这时方程成为 因为左端只与有关，所以它的右端也只与有关.充分性: 如果 只与有关，其是方程的解，即此时满足方程，从而是方程的一个积分因子.3.2具有形式的积分因子方程 有形式 的积分因子的充要条件为， 这里 仅为的函数，于是积分因子为证明与3.1相似.例子1： 求 的积分因子.解 因为，且，则于是积分因子为.3.3具有形式的积分因子 方程 有形式如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子是.证明 令，则，.假设是方程 的积分因子，则有从而 得方程的有形如的积分因子的充要条件是，即积分因子是.3.4具有形式的积分因子 方程有形如的积分因子的充要条件是，且积分因子是. 证明 令，则有，. 假设是方程的积分因子，则有，所以 ，当且仅当 时可以解出.故方程有形如的积分因子的充要条件是，且积分因子是例子2： 求 的积分因子？解 因为 ，于是积分因子为.4. 总结本章对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。综上所述，该文介绍积分因子和充要条件，及其一些几种类型的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性参考文献：1华东师范大学微分方程教研室常微分方程 北京：高等教育出版社 第二版，2005年2郭玉璻，编著 常微分方程：理论，建模与发展 北京：清华大学出版社 第一版，2010年3周义仓，秦军林. 常微分方程及其应用 北京：科学出版社 第二版，2010年4王高雄，周之路，朱思铭，王寿松 . 常微分方程 北京：高等教育出版社 第二版， 1983年5包雪松，徐洪义常微分方程 南京大学出版社，第一版 1994年6蔡燧林. 常微分方程 武汉大学出版社，第二版，2003年致 谢我的毕业论文是在我的导师依里夏提老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,认真负责的批改态度,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成, 依里夏提老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在此谨向依里夏提老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.同时,我还要感谢四年中教给我知识的尊敬的老师们,是你们让我懂得了学习知识的乐趣和重要性,在你们的教导下,我才在大学中一步一步成长;我还要感谢陪我一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们,正是由于你们的帮助和支持,我才能克服一个一个的困难和疑惑,直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意！谢谢你们！11
